Application ouverte

par **Bill BM** » 06 Sep 2009, 22:28

Bonsoir à tous,

J'ai un exame pour demain et je plante sur un exo:
Montre qu'une application ouverte f de R vers R est stristement monotone.

Je pense que ma première difficulté est l'interprétation de "application monotone".

par **achille** » 06 Sep 2009, 23:13

Bill BM a écrit:Bonsoir à tous,

J'ai un exame pour demain et je plante sur un exo:
Montre qu'une application ouverte f de R vers R est stristement monotone.

Je pense que ma première difficulté est l'interprétation de "application monotone".

je crois qu'une application est dite ouverte si l'image directe de tout ouvert par cette application est un ouvert.

Edit : je crois qu'elle doit être aussi continue, peut-être aussi linéaire mais là je suis pas sûr...

par **Bill BM** » 06 Sep 2009, 23:23

En effet, le cas f continue aussi, implique l'existence d'un extrémum local sur un intervalle ouvert I de R et dont l'image directe est un intervalle sémi-ouvert du genre ]<- ; f(a)] qui est fermé.
Mais la cas f non continue n'est pa aussi simple, mais doit être démontrable parcq'en plus cet exercice revientsouvent dans des examens, mais j'ai jamais eu de solutions complètes

par **achille** » 06 Sep 2009, 23:30

Bill BM a écrit:En effet, le cas f continue aussi, implique l'existence d'un extrémum local sur un intervalle ouvert I de R et dont l'image directe est un intervalle sémi-ouvert du genre ]<- ; f(a)] qui est fermé.
Mais la cas f non continue n'est pa aussi simple, mais doit être démontrable parcq'en plus cet exercice revientsouvent dans des examens, mais j'ai jamais eu de solutions complètes

je ne crois pas vraiment qu'on puisse interpeler le cas f discontinue dans la définition de 'f application ouverte'...

par **Bill BM** » 06 Sep 2009, 23:33

Soit,que f ouverte alors f continue ?

par **achille** » 06 Sep 2009, 23:43

Bill BM a écrit:Soit,que f ouverte alors f continue ?

non pas ça, mais ça rentre dans la définition d'une application ouverte qu'elle soit continue.

par **achille** » 06 Sep 2009, 23:44

http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./a/applicationouverte.html

ça serait bien si quelqu'un puisse confirmer...

par **Nightmare** » 07 Sep 2009, 01:44

Salut :

Pour l'exercice, c'est faux sans que l'application ouverte soit continue.

Si elle l'est par contre l'idée est la suivante :

On considère un point x sur un segment [ab]. On veut montrer que f(x) est sur le segment [f(a)f(b)].

L'image du segment ouvert ]ab[ est ouverte et connexe par continuité donc est encore un segment ouvert ]a'b'[.

Si l'on rajoute les extrémités, par compacité du segment et continuité, l'image doit être un segment fermé.

En résumé, la fonction envoie le segment initial sur le segment ouvert ]a'b'[ auquel on ajoute l'image des deux extrémités. Or, a' et b' sont différents des extrémités du segment image, les extrémités du segment initiales sont donc les extrémités du segment final. CQFD

par **abcd22** » 07 Sep 2009, 11:00

achille a écrit:http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./a/applicationouverte.html

Ce théorème ne dit pas qu'une application ouverte est continue par définition, c'est un théorème, pas une définition.

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