Application ouverte

[nikoch]

Pourrais-je avoir une réponse ? ..

[Robot]

Si O est un ouvert de X*Y, il existe une boule ouverte de rayon r>0, tel que pour tout (x,y) appartenant à O, on ai B((x,y),r) contenu dans O

Cette phrase n'a pas de sens. Tu t'emmêles les pinceaux dans l'ordre des quantifications.
Je pense que tu as l'idée, mais une idée qui n'est pas formalisée correctement ne donne rien.

[Ben314]

[quote="nikoch"]J'ai essayé cette réponse :
Si O est un ouvert de X*Y, il existe une boule ouverte de rayon r>0, tel que pour tout (x,y) appartenant à O, on ai B((x,y),r) contenu dans O si on prend la metrique d((x,x'),(y',y'))=dX(x,x')+dY(y,y'), on a B((x,y),r)={(x',y') tel que dX(x,x')+dY(y,y') à partir de ce moment là, tu peut "parler" de x et de y.
Ensuite, tu écrit qu'il existe un r tel que B((x,y),r) est contenue dans O => dans la suite tu peut "parler" de r.
Par contre, d'écrire uniquement que B((x,y),r)={(x',y') tels que...} ne désigne pas de (x',y') particulier.
Ce qui serait correct serait d'écrire [I]"Si je prend un (x',y') dans B((x,y),r) alors on a dX(x,x')0 tel que la boule de XxY centré en (x,y) de rayon R soit contenue dans O.
- Si on prend un x' quelconque dans la boule de X centré en x et de rayon R alors on a
d((x,y),(x',y))=d(x,x')+d(y,y)=d(x,x')+0<R
donc (x',y) est dans O et celà prouve que x' est dans pX(O).
Conclusion : la boule de X de centre x et de rayon R est contenue dans pX(O) ce qui achève la démonstration.

[nikoch]

Merci beaucoup Ben314 :)

[nikoch]

J'ai juste un problème à un moment dans votre démonstration. Vous en venez à parler d'une boule de X, alors qu'on en a pas définit ..

[Ben314]

Je vois pas vraiment de quel endroit tu parle....

- Pour montrer que pX(O) est ouvert dans E, il suffit de montrer que, quelque soit l'élément x de pX(O), on peut trouver une boule ouverte de X...

Si c'est de ça que tu parle, je définie rien du tout à cet endroit là, j'explique uniquement la démarche à suivre.

...On choisi donc un élément quelconque x de pX(O).
...il existe R>0 tel que...
- Si on prend un x' quelconque dans la boule de X centré en x et de rayon R alors on a...

Et si c'est de la partie bleue ci dessus dont tu parle, la boule en question est parfaitement définie vu que le centre x et le rayon R sont définis précédemment.

[nikoch]

Entendu, merci beaucoup. :) Juste une question par curiosité ^^ Vous êtes professeurs de mathématiques ? élève ? ^^

[Ben314]

enseignant.