MouLou a écrit:Comment caracterises tu les ouverts de X*Y? Dans la topologie produit j'entends
MouLou a écrit:As tu déjà entendu parler de topologie produit? Ou alors tu parles d'une boule, c'est que tu parles de distance. Comment definies tu ta distance sur X*Y?
Ben314 a écrit:Salut,
Bon, reprenons les choses à la base :
- Tu es bien d'accord que, vu la définition, pour montrer qu'une application f:A->B est ouverte, il faut avoir des topologies sur les ensembles A et B.
- J'espère que c'est aussi clair que le fait que f:A->B est ouverte ou pas, ça va dépendre des topologies qu'on a mise sur A et B. Par exemple, si on met la topologie discrète sur B, f va forcément être ouverte alors que si on met la topologie grossière sur B, y'a peu de chance que f soit ouverte.
BILAN : concernant ta fonction f : XxY -> X pour voir si elle est ouverte ou pas, ben il faudrait non seulement avoir des topologies sur les ensembles X et XxY, mais il faudrait aussi qu'il y ait un lien entre ces topologies vu que si la topologie sur X et celle sur XxY sont absolument quelconque, on risque pas de savoir si f est ouverte ou pas !!!!
Donc il faudrait que tu creuse un peu ta mémoire pour savoir si, une fois qu'on a muni deux ensembles X et Y d'une topologie on t'aurais pas parlé à un moment donné d'une topologie "naturelle" qu'on mettrait sur l'espace produit XxY (et qui dépendrait évidement des topologies mises sur X et sur Y)
P.S. Si ton cours ne parle que d'espaces métriques, remplace tout les mots "topologie" par "métrique" ci dessus : ça ne change rien au problème.
Ben314 a écrit:On va dire que c'est plus ou moins ça, modulo l'erreur (archi classique) consistant à penser que les seules parties d'un produit XxY sont de la forme AxB.
Par exemple, dans R², tu n'a jamais entendu parler de formes géométriques autres que des rectangles ?
nikoch a écrit:Une parabole est une partie de R^2 non ?
Donc, pensez vous que la justification que je viens de donner est suffisante pour répondre à mon problème ?
Si tu parle de ça :nikoch a écrit:Donc, pensez vous que la justification que je viens de donner est suffisante pour répondre à mon problème ?
non, ça va pas vu que les ouverts de XxY ne sont pas tous de la forme AxB.nikoch a écrit:Si A*B est un ouvert de X*Y, alors A est ouvert dans X et B est ouvert dans Y, et il y a même équivalence, c'est bien ça ?
Ben314 a écrit:Si tu parle de ça :non, ça va pas vu que les ouverts de XxY ne sont pas tous de la forme AxB.
Par exemple, dans R² (muni de la topo usuelle), un disque ouvert, c'est un ouvert et comme c'est pas "rectangulaire", c'est pas de la forme AxB avec A et B des parties de R.
Ben314 a écrit:Si X et Y sont deux espaces topologique, la topologie sur XxY induite par celle de X et de Y est effectivement telle que les parties de XxY de la forme AxB avec A et B des ouverts de X et de Y vont être des ouverts de XxY, mais ça ne peut pas être que ça l'ensemble des ouverts de XxY vu que ce n'est pas stable par réunion (la réunion de deux rectangles n'est en général pas un rectangle) alors que la stabilité par réunion fait parti des axiomes.
Donc on a du t'apprendre que, par définition, la topologie sur XxY induite par celle de X et de Y, c'est celle engendrée par les AxB où A et B sont des ouverts de X et de Y, c'est à dire qu'une partie de XxY est un ouvert ssi c'est une réunion (éventuellement infinie) de parties de la forme AxB avec A et B ouverts respectifs de X et de Y.
Bilan : si O est un ouvert quelconque de XxY alors où I est un ensemble quelconque (fini ou pas), les sont des ouverts de X et les des ouverts de Y.
C'est quoi (où ) ?
Oui : l'image directe d'une réunion est égale à la réunion des images directes et l'image de AixBi est évidement Ai.nikoch a écrit:S'agit-il de l'union des Ai ?
Il me semble bien évident que, si tu ne connais pas la définition de la topologie que l'on met sur XxY, tu ne risque pas de répondre à la question posée...nikoch a écrit:Cette définition m'embête, car je l'ai vu en module "théorie de la mesure et intégration", mais dans ce module, on ne parle pas d'ouvert et de fermé, c'est uniquement dans mon module "topologie et espace métrique" qu'on aborde les ouverts et les fermés ..
Ben314 a écrit:Oui : l'image directe d'une réunion est égale à la réunion des images directes et l'image de AixBi est évidement Ai.
Il me semble bien évident que, si tu ne connais pas la définition de la topologie que l'on met sur XxY, tu ne risque pas de répondre à la question posée...
Par contre, si on se place uniquement dans le contexte des espaces métriques, on peut définir la topologie sur XxY à l'aide d'une des métriques suivntes :
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puis montrer que ces distances sont équivalentes donc définissent les mêmes ouverts.
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