Démonstration du théorème de l'application ouverte

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esperluette
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Démonstration du théorème de l'application ouverte

par esperluette » 18 Oct 2018, 19:47

Bonjour,

On a démontré en cours le théorème de l'application ouverte :
Si E et F sont deux Banach et linéaire continue et surjective de E dans F alors, il existe C>0 tel que (avec ensuite pour conséquence que est ouverte).

Pour la preuve, on a fait ça en deux étapes :

1) Montrer qu'il existe C>0 tel que .
Ca, c'est bon.

2) En déduire le résultat voulu.

Pour ça, on écrit : Soit . On cherche tel que et .
D'après l'étape 1, tel que et
Et là, je bloque : pourquoi a-t-on le droit de choisir ? L'étape 1 nous donne l'existence d'un tel z mais pour , non ?
En sachant qu'après le 1/2 deviant 1/4, 1/8, ... le but étant de construire par récurrence une suite telle que et
En soit, si l'on admet que le peut se transformer en pour tout n, alors, je comprends comment on a construit la suite, mais c'est ce passage qui me gène vraiment... Dans beaucoup de preuves trouvée sur le net, c'est considéré comme "évident" :|

Si quelqu'un pouvait éclairer ma lanterne sur cette "évidence", ce serait vraiment cool :)

Merci d'avance !



aviateur
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Re: Démonstration du théorème de l'application ouverte

par aviateur » 18 Oct 2018, 20:29

Si y est ds alors 2y est ds dc d'après l'étape, il existe u de module <1
tq . Soit encore Tu poses et ceci explique cela.

Ensuite par homogénéité la question dans la question 1 tu peux diviser les rayons par 2^n.

A la deuxième étape tu poses qui est de module < (2C)/2 donc il existe
de module < 1/4 tel que
et ainsi de suite en appliquant le 1) mais ayant divisé par 2 les rayons à chaque fois.

 

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