[exercice 1] Topologie - points d'accumulation

[Brennos]

Bonjour,
Comme indiqué dans ma présentation, étant en autoformation complète, je recherche des âmes charitables qui puisse corriger quelques exercices issus d'ouvrages de troisième cycle sur les méthodes/outils de modélisation financière à destination d'économistes.



1. A = ℝ ; A' = ℝ d'où A=A'
2. ∀ x, ε > 0, A = ]x ; x+ε[ ; A' = ]x ; +∞[ d'où A ⊂ A'
3. ∀ x , A=[x ; +∞[ ; A' = ]x ; +∞[ d'où A' ⊂ A
4. ∀ x , A={x} ; A' = ]-∞ ; x[ ∪ ]x ; +∞[ d'où A ∩ A' = ∅

Merci d'avance.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Dans 2 : ton A' contient des points qui ne sont pas des points d'accumulation de A, et x qui est point d'accumulation de A n'est pas contenu dans ton A'
Dans 3 : x est point d'accumulation de A, donc ici l'ensemble des points d'accumulation de A est A.
Dans 4 : ton A' n'est pas l'ensemble des points d'accumulation de {x}

Tes réponses montrent que tu n'as pas vraiment compris ce qu'est un point d'accumulation.
est un point d'accumulation de dans quand tout intervalle ouvert contenant contient un point de différent de .
Une formulation équivalente qui peut peut-être t'aider à te faire une image mentale d'un point accumulation : est un point d'accumulation de dans quand il existe une suite d'élémùents de , tous différents de , de limite .

[Brennos]

Merci de ta réponse, je m'aperçois en effet que j'ai écrit n'importe quoi !
En fait, je pense avoir l'image mentale de la notion mais j'ai du mal à formaliser les choses...

Prenons A = [2,4]. Pour moi dans ce cas A'=]2,4[.
En effet, tout intervalle ouvert contenant x ∈ ]2,4[ contient un point y ∈ [2,4] avec x ≠ y
exemple ]1,9 , 2,1[ ou ]3,9 , 4,1[
Nous sommes ici dans le cas 3 où A' ⊂ A

Pour le cas 4, par exemple si A = {2} du coup effectivement je pense que A' = ∅ puisque je ne peux pas trouver d'intervalle ouvert qui respecte les conditions.

Est-ce que mon raisonnement est correct ?
Pas sûr parce que je me prends la tête pour trouver un cas ou A ⊂ A'

[catamat]

Bonjour,

Prenons A = [2,4]. Pour moi dans ce cas A'=]2,4[.

C'est le contraire, si A=]2,4[, alors A'=[2,4]

En effet 2 est un point d'accumulation de A, si un reprend la remarque de GaBuZoMeu :
la suite d'éléments de A a pour limite 2, même chose pour 4.

[GaBuZoMeu]

Ton image mentale n'est donc pas encore au point. Ça va venir !