Point d'accumulation
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freestyle58
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par freestyle58 » 23 Sep 2010, 22:39
Bonjour,
Voici mon problème:
Soit E un ensemble arbitraire de nombres réels. Montrer que E' est fermé (E' étant l'ensemble des points d'accumulation de E).
J'ignore complètement comment débuter ma preuve. Pouvez-vous m'aider ?
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girdav
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par girdav » 23 Sep 2010, 22:47
Bonjour,
peux-tu commencer par donner la définition de points d'accumulation? (je sais ce que c'est ne t'inquiète pas, c'est juste qu'il est toujours bon de se rappeler les définitions avant de débuter un exercice)
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freestyle58
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par freestyle58 » 23 Sep 2010, 22:57
ma définition de point d'accumulation est la suivante:
Un point a est un point d'accumulation d'un ensemble E si tout voisinage de a contient un point de E autre que a.
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girdav
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par girdav » 23 Sep 2010, 22:59
D'accord.
On peut essayer de montrer que le complémentaire de
est un ouvert. Pour cela, si
n'est pas un point d'accumulation de
alors on peut trouver un intervalle ouvert centré en
qui ne rencontre pas
. Il te reste à montrer que cet intervalle ne contient pas de points d'accumulation de
.
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Nightmare
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par Nightmare » 24 Sep 2010, 00:18
Salut,
autre approche : les seuls éléments qu'il manque pour être dans la fermeture de E, ce sont les éléments isolés ...
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freestyle58
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par freestyle58 » 24 Sep 2010, 02:26
tu entends quoi par éléments isolés?
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girdav
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par girdav » 24 Sep 2010, 11:00
(*) est dit isolé pour
s'il existe un voisinage de
privé de
(**) est disjoint de
. Par exemple, avec
on montre que
est un point isolé pour
.
edit : (*),(**) coquilles de ma part.
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Arkhnor
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par Arkhnor » 24 Sep 2010, 11:22
Bonjour.
Si
appartient à
, un voisinage de
a peu de chances d'être disjoint de
...
Un point isolé de E, c'est un point
tel que
est ouvert dans E pour la topologie induite.
En d'autres termes, il existe un voisinage de
disjoint de
.
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mathelot
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par mathelot » 24 Sep 2010, 13:27
Bonjour,
soit L une limite de points de E'
Tout voisinage ouvert de L contient un point e'. Comme il est ouvert
c'est un voisinage de e'. Il contient donc un point e de E dans une boule
ouverte de centre e' et de rayon r < d(e',L). donc
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freestyle58
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par freestyle58 » 24 Sep 2010, 19:14
Comment fait-on pour montrer que cet intervalle ne contient pas de points d'accumulation de E ?
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girdav
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par girdav » 24 Sep 2010, 19:53
Prends un point
dans cet intervalle
. Il existe un
tel que l'intervalle
soit entièrement contenu dans
.
ne peut pas rencontrer
et ça marche car
est arbitraire.
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freestyle58
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par freestyle58 » 25 Sep 2010, 01:28
merci pour votre aide
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