Suite et point d'accumulation

[axwella]

Salut !

Désolé du temps de réponse j'ai été pas mal occupé ces derniers temps.
Concernant le problème, je te fais un peu tourner en bourrique étant donné que dans le cas des suites les points d'accumulations sont exactement les valeurs d'adhérences, pour la simple et bonne raison que tout point d'une suite est isolé.

En fait, voici les définitions rigoureuses :

x est un point d'accumulation (resp. valeur d'adhérence) d'un ensemble A s'il est adhérent à A-{x} (resp. A).

On voit bien que pour une suite, cela revient exactement à la même chose !

pas de probs pour le temps de réponse,
c'est la loi internautique

Et justement j'en ai profité pour lire et re-lire à ces propos encore complexes pour moi, mais j'y viens gentillement.

Une valeur d'adhérence (ou soit A partie de E, donc un ensemble adhérent) j'ai vu, et il semble qu'il et super important de comprendre la notion de voisinage (peut se définir aussi avec les notion de boules (ouvertes ou fermées) :: on dit aussi simplement un Ouvert ou un Fermé), alors que la norme définie est en quelques sorte "la forme" de la boule dans R^n que l'on choisirait pour un certain "cadre", mais selon ce que l'on veut, il n'est pas nécessaire d'en définir une. (...de norme... intuitif.)

Exemple de topologie: Si j'ai bien compris, IR est la réunion de ses ouverts (voisinages) distincts deux-à-deux, et j'ai l'intuition que l'idée SERAIT de discrètiser la notion continue de IR pour pouvoir définir des notions qui reste EN*DEHORS de l'hypothèse du continue. (intuitif pour moi)

Oui, pour en revenir aux suites, ce n'était pas claire pour moi que tous ses points sont ISOLES et qu'effectivement aucun point de la suite de IN vers IR (par exemple celle mentionnée en débuts de sujet) sa valeur d'adhérence est bien racine(2) dans R, mais n'EST PAS un point de la suite (puisque ses termes sont, et restent innéluctablement dans Q). Cauchy (voir aussi plus bas la réponse de sami-sg1 que je remercie pour cet éclairage parfait au sujet des suites

J'ai compris qu'une valeur d'adhérence (cas du point) ne peut qu'être un point d'accumulation EXOR un point isolé ! (excusez mon accent informaticienne :lol5: )

Je me pose toujours la question: y a t'il une espèce d'aversion inter-disciplinaire entre l'informatique et les mathématiques, alors que l'informatique n'existerais certainement pas sans la discipline nommée mathématique, et surtout elle n'existerait pas, tout simplement sans la notion de nombre. (n'y répondez pas je pense à haute voix :id: )

Je vais voir de plus près et séparément la réponse de sami-sg1.

Un GRAND merci à tout les deux :we:

Les mathématiques me passionnent aujourd'hui, nettement plus que l'informatique d'entreprise.... C'est pas difficile, toutes les propositions qui m'ont été faîtes dans ce domaines m'avaient tellement dégoutée que j'ai du faire un autre choix de carrière. Par contre l'informatique scientifique me restera utile à certains degrés je l'espère, pour la compréhension des mathématiques.

Merci encore.

[Doraki]

Donc dans le cas de la suite (0,0,0,0,0...), 0 en est une valeur d'adhérence mais pas un point d'accumulation ?

[axwella]

Salut !

Je veux juste ajouter quelque chose de fondamental pour les suites !

On ne dit jamais qu'une suite est convergentes et c'est tout ! On dit qu'une suite dont les termes appartiennent à l'ensemble A (ou une suite définit sur A) converge dans l'ensemble B (c'est-à-dire que sa limite est dans B). Il faut bien sur que A soit inclus dans B. Vous pouvez remplacer A et B par n'importe quels ensembles.

Dans votre cas, la suite dont les termes sont dans IQ (ensemble des nombres rationnels) ne converge pas dans IQ (puisque ras(2) n'appartient pas à IQ) mais converge dans IR (ensembles des nombres réels).

Une autre chose trèèèès importante : une suite est dite suite de Cauchy si elle se comporte exactement comme une suite convergente (elle peut bien sur être elle même convergente). En d'autre termes si ses ....termes se rapproche de plus en plus d'un éventuel "point" qui peut appartenir ou non à l'ensemble où la suite est défini. C'est une propriété du comportement d'une suite. Toute suite convergente (quelque soit A et B) est une suite de cauchy. Mais l'inverse n'est pas toujours vrai. Dans le cas spécial où A=B et que toute suite convergente est une suite de cauchy, on dit que A est complet.

a+

J'avais tendance à utiliser l'expression "...par projection de Q sur la droite de R" alors que l'on parle plutôt de "plongement de Q dans R".

En fait là je lit tout un tas de d'écrits qui aboutissent finalement à la construction de R... Par divers visions des choses (Cantor, Dedekind et ses coupures, et Cauchy) :briques:

Je sens que c'est encore très complexe pour moi, c'est surtout intuitivement que je comprends les choses (et c'est incomplet à ma soif d'apprendre) ....et donc il y aurai effectivement un "ensemble?"-vaste de {suites de Cauchy} avec lequel on peut définir tout nombre dans R par encadrement dans Q, ...et dont on vérifie les trois axiomes qui semblent correspondre simplement à l'axiomatique de la notion de distance. (inégalité triangulaire, etc.) Tout en "réduisant" cette Classe? C:{suites de Cauchy} par une relation d'équivalence formé entre deux suites quelquonques (ou presque).

:briques:

Il faut que j'étudie tout ça encore beaucoup++

Je vois par exemple pas tout-à-fait les nuances entre borne supérieur, suites majorées et supremum.... tout ceci dans IR je suppose. (et pas que dans IR je re-suppose) - je pense à haute voix -

Merci++
pour vos réponses intensément éclairantes.
je m'intéresse beaucoup, et en particulier, à la théorie des nombres, dont l'arithmologie.

C'est pour ça que j'étudie cette suite particulière (très très ancienne), et particulièrement simple dans sa définition. Mais dont je lui voit une quantité effroyables de propriétés à en déduire, surtout si de cette même suite:

En fait j'ai compris que racine(2) peut s'étudier sans fin en théorie des nombres par exemple, et semble plus intéressante que d'étudier Pi, dont on semble en avoir fait "le tour". (le contours?)

:doh:

[axwella]

Donc dans le cas de la suite (0,0,0,0,0...), 0 en est une valeur d'adhérence mais pas un point d'accumulation ?

Ben non, puisque par définition, un "point d'accumulation", est une valeur exclue de l'ensemble des termes de la suite.

Exemple d'une suite ayant ses termes dans Q comme celle que je mentionne en début de sujet et qui pourtant à pour point d'accumulation AUTOUR de racine(2) qui n'appartient justement PAS*a l'ensemble de ses termes.

Par contre c'est une valeur d'adhérence manifeste.

Je suppose aussi que si les termes de ma suite était dans R,
on aurait -racine(2) comme élément répulsif et +racine(2) comme élément "attractif"... de la terminologie des systèmes dynamique je suppose.

...Ssi j'ai bien tout compris :doh:

- je ne comprends jamais "tout" -
Mais l'algorithme de Dieu est clairement défini :id:

[Nightmare]

Une valeur d'adhérence (ou soit A partie de E, donc un ensemble adhérent) j'ai vu, et il semble qu'il et super important de comprendre la notion de voisinage (peut se définir aussi avec les notion de boules (ouvertes ou fermées) :: on dit aussi simplement un Ouvert ou un Fermé), alors que la norme définie est en quelques sorte "la forme" de la boule dans R^n que l'on choisirait pour un certain "cadre", mais selon ce que l'on veut, il n'est pas nécessaire d'en définir une. (...de norme... intuitif.)

Oui à la base on peut définir toutes ces notions (point d'accumulation, adhérence) sans avoir de métrique : On définit l'adhérence d'un ensemble comme le plus petit fermé (relativement à la topologie considérée donc) contenant cet ensemble. On peut donc le voir comme l'intersection de tous les fermés contenant l'ensemble. Une valeur d'adhérence de la suite est un élément qui est à la frontière de l'adhérence de l'ensemble des valeurs de la suite. Maintenant si on a une norme c'est un peu plus simple puisque cela correspond exactement aux limites des suites extraites.

Exemple de topologie: Si j'ai bien compris, IR est la réunion de ses ouverts (voisinages) distincts deux-à-deux, et j'ai l'intuition que l'idée SERAIT de discrètiser la notion continue de IR pour pouvoir définir des notions qui reste EN*DEHORS de l'hypothèse du continue. (intuitif pour moi)

Je n'ai pas bien compris ce que tu as voulu dire [/quote]