Suite et point d'accumulation

[axwella]

Bonjour,

je suis nouvelle, pas dans une école, mais autodidacte,
et je travaille sur la racine de 2 qui semble avoir une histoire
très chargée.

La suite est très simple:

je prends un entier quelquonque: (dans N) pour x[0]
et par récurrence ma suite de fractions engendrée par
x[n+1] = (x[n] + 2) / (x[n] + 1)
La convergence est bien racine de deux alors que racine de 2 n'appartient PAS
au même ensemble que celui des fractions.

Ma question: Est-ce que je peut dire que la suites de fractions converge au voisinage de racine de 2?

Et question subsidiaire: Est-ce que racine de 2 est alors un "point d'accumulation" de la suite ainsi définie?

Ce sont plus des questions de terminologie je suppose,
mais quelques éclairages nouveaux sur ces points m'intéresse vraiment.

axelle.

Pour toute réponses, je vous en remercie d'avance.

rem: Lire les x[n] comme 'x' indice 'n' (programmation pascal)

[Nightmare]

Salut !

Je ne comprends pas ce qui te gène dans la convergence? Le fait qu'une suite de rationnel tende vers irrationnel ?

Sinon, la limite d'une suite convergente est bien un point d'accumulation de la suite et c'est bien sûr le seul.

[axwella]

Salut !

Je ne comprends pas ce qui te gène dans la convergence? Le fait qu'une suite de rationnel tende vers irrationnel ?

Sinon, la limite d'une suite convergente est bien un point d'accumulation de la suite et c'est bien sûr le seul.

En fait ça ne me gène pas personnellement,
mais je me demandais si dans le "solfège" des mathématiques
la notion de point d'accumulation était "l'expression juste".

Mais en fait c'est aussi la notion de "voisinage": Est-ce que l'on a le droit de parler de voisinage dans le cadre d'une "fabrique" (suite) de fractions délibérément dans Q alors que l'être mathématique vers laquelle cette "fabrique" de fractions peut être exprimée dans un AUTRE ensemble, et pourquoi pas aussi R, car racine de 2 appartient aussi à R dans le fond, ... C, etc.

Mais je crois que j'ai bien compris que c'est bien un point d'accumulation dans R (ou dans I), peu importe - je le suppose -, pour la suite ainsi définie.

Maintenant,
Comment doit-on (ou peut-on) parler de "voisinage" dans le cadre de l'étude d'une suite. Est-ce finalement un peu redondant (terminologiquement) avec la notion de point d'accumulation? (La notion de voisinage?)


Merci beaucoup en tout cas :happy2:

[Nightmare]

Salut,

je vais t'avouer ne pas avoir compris la plupart des choses que tu as dites ... Cela dit je ne t'en veux pas, il est souvent difficile d'exprimer clairement une chose qu'on ne comprend pas (normal puisqu'on ne la comprend pas).

Je vais essayer de répondre quand même :

Un point d'accumulation est comme son nom l'indique un point autour duquel les termes de la suite s'accumulent ! Concrètement cela veut dire que quel que soit le rayon de l'intervalle centré en notre point, on va trouver une infinité d'éléments de la suite à l'intérieur. Cependant il est clair que ce point n'est pas forcément une limite de la suite, par contre le contraire est alors évident puisqu'une limite est en particulier un élément autour du quel les éléments s'accumulent.

Concernant la notion de voisinage, elle est justement parfaite pour définir un point d'accumulation, comme tu as pu le voir dans mon explication précédente avec mes histoires d'intervalles centrés en le point.

Pour ce qui est de ta question avec racine de 2 là je n'ai vraiment pas saisi ce qui te troublait !

[axwella]

Concrètement cela veut dire que quelque soit le rayon de l'intervalle centré en notre point, on va trouver une infinité d'éléments de la suite à l'intérieur.

Heu... d'accord, mais pour que "quelque soit le point => une infinité d'éléments, Je ne peut justement pas "choisir" n'importe quel point... ???
Si je prends racine de 3 au lieu de racine de 2, on est bien d'accord que le rayon ne pourra pas être aussi petit que l'on désire.... ??

Donc la limite ne peut être que le point d'accumulation de cette suite projetée dans, par exemple sur R ?

Peut-être faut-t'il que je revois bien la notion de voisinage dans le cadre du calcul d'une limite?


ps: ce qui me trouble c'est plus de l'ordre de la terminologie adaptée (ou pas).

[Nightmare]

Je n'ai pas dit "quel que soit le point" mais "quel que soit le rayon" :lol3:

La notion de voisinage parle d'elle même, le voisinage d'un point c'est tout ce qui se trouve dans son entourage.

[axwella]

Je n'ai pas dit "quel que soit le point" mais "quel que soit le rayon" :lol3:

La notion de voisinage parle d'elle même, le voisinage d'un point c'est tout ce qui se trouve dans son entourage.

ça je comprends,
mais quel serait le contre-exemple pour lequel
le point d'accumulation ne serait pas LA limite
d'une suite?

Est-ce simplement parce qu'il y en aurait plusieurs ?

Car par exemple: si je prends - racine de 2 (négatif) ....
c'est bien un "point fixe" de la même suite car : -sqrt(2) =(-sqrt(2)+2)/(-sqrt(2)+1) ...

Est-ce un point d'accumulation "instable" ou bien cette situation porte un autre nom?

Ou alors peut-être viendrais-je juste de me répondre: -sqrt(2) n'est pas un point d'accumulation et surtout pas une limite de la série... :mur:

[Nightmare]

C'est une autre notion, celle de point attractif et répulsif, tu pourras trouver ça sur internet.

Bien sûr une suite peut avoir plusieurs points d'accumulation, on prend la suite très simple (-1)^n, 1 et -1 sont des points d'accumulation

[axwella]

C'est une autre notion, celle de point attractif et répulsif, tu pourras trouver ça sur internet.

Bien sûr une suite peut avoir plusieurs points d'accumulation, on prend la suite très simple (-1)^n, 1 et -1 sont des points d'accumulation

Excellent !!!!! :id:


La j'ai l'ensemble des réponses que je cherchais sans savoir.

1/ point répulsif.
2/ point attractif.
3/ excelent exemple: (-1)^n n'a bien sur aucune limite, alors qu'elle admet bien 2 points d'accumulations.

merci merci merci
++merci

- moi j'aime beaucoup les maths c'est grave doc? - :we:

[Nightmare]

Ca arrive mais malheureusement ça ne se soigne pas :lol3:

Je t'invite à montrer que l'ensemble des points d'accumulation d'une suite est inclus dans l'ensemble de ses valeurs d'adhérence. (Pourvu qu'on ait une métrique du moins).

[axwella]

Ca arrive mais malheureusement ça ne se soigne pas :lol3:

Je t'invite à montrer que l'ensemble des points d'accumulation d'une suite est inclus dans l'ensemble de ses valeurs d'adhérence. (Pourvu qu'on ait une métrique du moins).

Ouille:
a) valeur d'adhérance. ---> j'ai plus qu'à rouvrir plein de livres (ou internet)
b) la notion de métrique. Boule ouverte, /etc je suppose....

Mon copain docteur en physique m'en parle souvent....
Metrique => TH de La Mesure => Calcul integrale Borel/Lesbegues je crois, /etc

je vais voir tout ça

merci+++++++

[Nightmare]

Attention, ne pas confondre une métrique avec une mesure ! Une métrique est une distance !

Mon résultat est vrai seulement dans un espace métrique.

[axwella]

oui, il faut une métrique, donc une norme?

d(x,x) = 0
d(x,y) = d(y,x) etc...

ouille, non ça c'est le début d'une définition de la distance...

la norme c'est une racine particulière qui a à voir avec un ensemble de voisinages je crois non?


edit: C'est de la topologie.
j'ai encore beaucoup de peine avec les quelques notions de bases.
Là j'ai encore beaucoup de travail je crois :briques:

[Nightmare]

Ne te fixe pas sur la métrique, oublie la même. Considère la distance usuelle sur R simplement (ie la valeur absolue) et traie l'exo avec celle-ci.

(Sinon, attention à ne pas confondre métrique et norme non plus !)

[Nightmare]

Tu peux aussi avoir la flemme de faire l'exercice que je t'ai proposé je ne t'en voudrais pas :lol3:

[axwella]

Tu peux aussi avoir la flemme de faire l'exercice que je t'ai proposé je ne t'en voudrais pas :lol3:

Non, moi y en a pas avoir fait topologie.
Je ne sais donc pas du tout ce qu'est une valeur d'adhérence.
:mur:


edit:

Je t'invite à montrer que l'ensemble des points d'accumulation d'une suite est inclus dans l'ensemble de ses valeurs d'adhérence. (Pourvu qu'on ait une métrique du moins).

j'ai seulement cette ref: http://fr.wikipedia.org/wiki/Valeur_d%27adh%C3%A9rence#Valeurs_d.27adh.C3.A9rence_de_suites_r.C3.A9elles

:briques:

[axwella]

Hum...
en fait les points d'accumulations et les valeur d'adhérences dans une métrique classique dans R..... Sont les même "êtres mathématique" projeté de la suite sur R ?!!

J'ai bon? :)

edit: ça me semble incomplet tout-de-même (...)

[axwella]

Ca arrive mais malheureusement ça ne se soigne pas :lol3:

Je t'invite à montrer que l'ensemble des points d'accumulation d'une suite est inclus dans l'ensemble de ses valeurs d'adhérence. (Pourvu qu'on ait une métrique du moins).

valeurs d'adhérence -> limites de toute sous-suites (ou extraite)
de celle dont on parle de point d'accumulation.

pouf pouf, mon problème c'est que je n'intègre pas cette "contrainte" concernant : "(Pourvu qu'on ait une métrique du moins)"....

Mais: Les espaces métriques ont une base dénombrable de voisinages,
il existe (au moins) une sous-suite de (Un) qui converge vers une valeur d'adhérence. Il peut en exister plusieurs, etc...un ensemble de valeurs d'adhérence. ET les point d'acumulations de la suite "originale"...

C'est bizarre, mais j'ai plutôt limpression que c'est le contraire:

C'est l'ensemble des valeurs d'adhérences qui est inclu dans l'ensemble des point d'accumulation, puisque par définition de valeurs d'adhérence, il s'agit de sous-suite de l'originale (et non le contraire).

Mais je voit toujours pas que vient faire une métrique la dedant, à par si c'est pour faire allusion au fait qu'il s'agit d'ensembles DENOMBRABLES.

De plus, je n'arrive pas à dissocier la notion "d'espace métrique" (donc avec la définition d'une notion de distance dans un cadre "fini dénombrable") et celle de norme qui sont pour moi toutes des notions qui tiennent de la topologie.

:doh:

[Nightmare]

Salut !

Désolé du temps de réponse j'ai été pas mal occupé ces derniers temps.
Concernant le problème, je te fais un peu tourner en bourrique étant donné que dans le cas des suites les points d'accumulations sont exactement les valeurs d'adhérences, pour la simple et bonne raison que tout point d'une suite est isolé.

En fait, voici les définitions rigoureuses :

x est un point d'accumulation (resp. valeur d'adhérence) d'un ensemble A s'il est adhérent à A-{x} (resp. A).

On voit bien que pour une suite, cela revient exactement à la même chose !

[sami-sg1]

Salut !

Je veux juste ajouter quelque chose de fondamental pour les suites !

On ne dit jamais qu'une suite est convergentes et c'est tout ! On dit qu'une suite dont les termes appartiennent à l'ensemble A (ou une suite définit sur A) converge dans l'ensemble B (c'est-à-dire que sa limite est dans B). Il faut bien sur que A soit inclus dans B. Vous pouvez remplacer A et B par n'importe quels ensembles.

Dans votre cas, la suite dont les termes sont dans IQ (ensemble des nombres rationnels) ne converge pas dans IQ (puisque ras(2) n'appartient pas à IQ) mais converge dans IR (ensembles des nombres réels).

Une autre chose trèèèès importante : une suite est dite suite de Cauchy si elle se comporte exactement comme une suite convergente (elle peut bien sur être elle même convergente). En d'autre termes si ses ....termes se rapproche de plus en plus d'un éventuel "point" qui peut appartenir ou non à l'ensemble où la suite est défini. C'est une propriété du comportement d'une suite. Toute suite convergente (quelque soit A et B) est une suite de cauchy. Mais l'inverse n'est pas toujours vrai. Dans le cas spécial où A=B et que toute suite convergente est une suite de cauchy, on dit que A est complet.

a+