Séries numériques

[CC_]

Bonjour,

Je suis un peu bloqué sur les exos suivants, pourriez-vous m'apporter quelques indices?

Premier exo : Soit tel que la série est convergente. Montrer que la série de terme général est convergente.

Deuxième exo, du même type : Soit à termes positifs vérifiant pour n>0 : . Etudier la convergence de .

Merci de m'aiguiller un peu :++:

[fahr451]

le premier est faux

u(n) = 1/n ; sigma 1/n^2 converge


S(n) = u(1) +...+u(n) équivalent à ln ( n)

donc S(n) /n équivalent à ln ( n) /n série de bertrand qui diverge.

[CC_]

Oups exact, pardon! Faute de frappe pour le 1er... C'est corrigé. :we:

[fahr451]

le deuxième en posant S(n) = u(0) +...+u(n)


on a u(n) = S(n)-S(n-1) =< S(n-1) /n^2

donc S(n) =< S(n-1) ( 1+1/n^2)

puis0=< ln S(n) -ln S(n-1) =< ln ( 1+1/n^2) =< 1/n^2

par comparaison de séries à termes positifs la série de terme général
ln S(n) -ln S(n-1) converge donc la suite ln S(n) converge et la suite S(n) cv

[CC_]

Ah oui bien sûr, la transformation d'Abel... Merci! :id:

Et pour le 1er exo, quelle était la ruse?

[fahr451]

y a pas de transformation d abel pour le 2 )

[CC_]

Quand tu dis u(n) = S(n)-S(n-1), c'est bien une transformation d'Abel?

[fahr451]

pour moi non

pour le 1 je suis perplexe je trouve un truc compliqué (très même, trop )

voila je prends u positive ( sinon mettre des l l là où il faut)

S(n)^2 = [u(1) +...+u(n)]^2 =< sigma u^2(k) sigma 1^2 = < A n par cauchy schwarz et en utilisant la cv de la série des u^2

ensuite comparaison :
S^2 (k) /k^2 =< intégrale de S(k) à S(k+1) de t^2 /k^2 dt = v(k)

car t->t^2 croit
avec v(k) = (1/3) [S^3 (k+1) -S^3 (k) ]/k^2

ensuite on montre par le critère de cauchy que sigma des v(k) cv

et là je fais une transformation d 'abel

je te laisse l écrire il va y avoir des termes en

S^3(k) [ 1/(k-1)^2 - 1/k^2]

or S (k) est un grand 0 de racine (k) [ premier résultat]
donc S^3 grand 0 de k^(3/2)
et le crochet est un grand 0 de 1/k^3
d où v(k) grand 0 de 1 / k^(3/2) et cv

y a plus simple; c 'est forcé