Langage ensembliste

[Huan]

Bonjour à tous.

Je vous soumet une question sur la théorie des ensembles qui me travaille. Cela concerne plus particulièrement l'égalité dans cette théorie. J'ai pu voir deux version de l'axiome d'extensionnalité. L'une s'énonçait: Pour tout ensembles E et F,pour tout x, (x appartient à E ssi x appartient à F) implique E=F.

La deuxième remplaçait l'implication par une équivalence. Or, pour moi, ces deux manières de faire diffèrent du fait qu'il m'avait semblé que la théorie des ensembles se plaçait dans un langage logique du premier ordre égalitaire, c'est à dire qu'un prédicat d'égalité existe déjà dans le langage préalablement à toute introduction de prédicat ensembliste (appartenance, inclusion).

De fait, deux interrogations me sont venues. En effet, supposons qu'en une théorie trop naïve, on ait pu, du fait par exemple d'une compréhension non restreinte, construire l'ensemble des ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes: Boum paradoxe de Russell. Par suite me direz vous, du paradoxe on peut déduire ce que l'on veut, mais cela concerne t-il aussi les énoncés égalitaire? Si on choisi la version de l'axiome avec l'équivalence, il y a justement équivalence donc un paradoxe égalitaire se déduit directement. En est t-il de même avec la version munie de l'implication uniquement, c'est-à-dire ou l'énoncé d'appartenance n'est qu'une condition suffisante et non nécessaire pour parvenir à un énoncé égalitaire?

Deuxième question (différente) maintenant. On a donc ce langage ensembliste avec compréhension non restreinte et dans ce langage on veut définir: 1-l'ensemble vide
2-l'ensemble de tout les ensembles.
On sait donc qu'on peut à tout énoncé P(x) ou x est une variable libre (je ne sais plus si ce n'était pas lié, bref...), associer {x|P(x)} et plus particulièrement on note {a,b,c...} les ensemble obtenus lorsque cet énoncé est: x=a ou x=b ou x=c ou...

On veut donc pour l'ensemble vide, trouver un énoncé qu'aucun x ne vérifie. Or si jamais comme dit plus haut, on peut porter les contradictions d'appartenance sur les énoncés égalitaires, l'énoncé: (x n'est pas égal à x) n'est plus possible puisque l'ensemble des ensemble qui ne s'appartiennent pas le vérifie. De même pour l'ensemble de tout les ensemble pour l'énoncé: x=x.
Certes, on peut voir parfois des définitions de l'ensemble vide comme l'ensemble E vérifiant: Pour tout x, x n'appartient pas à E. Mais est-il correct de définir un ensemble par une de ses propriété? De même lorsque l'on dit que l'ensemble vide est l'ensemble E:={}, est-ce vraiment une définition logique? Sur quel prédicat se base t-on?

Bref, je trouve surprenant que dans un langage paradoxal (ou tout est supposé possible) il soit moins facile de définir de tels objets. La contradiction des énoncés d'appartenance se reporte t-elle aussi sur les énoncés égalitaires (base du langage)?
Merci d'éclairer ma pauvre lanterne.

[Finrod]

"pauvre" , n'éxagérons rien.

Si nos économies étaient proportionnelles à notre connaissance de lathéorie des ensembles, je ne doute pas que tu ne connaitrais pas la précarité.

Pour information, l'ensemble des ensemble ne peut pas etre un ensemble. car son cardinal est égal à celui de l'ensemble de ces parties.

La théories qui résoud ce problème est celle des univers. Un univers est une collection d'ensembles vérifiant certains axiomes. L'ensemble des ensemble appartenant à un univers est un ensemble inclut dans un univers plus grand.

Pour le reste, je ne sais pas de quoi tu parles, je me renseignerai.


edit : la première question est aussi résolue par la théorie des univers. L'ensemble des ensemble d'un univers U, qui n'appartiennet pas à eux meme forment un ensemble dans un univers plus gros V contenant U mais pas dans U.
En cela, cet ensemble ne se contient pas car il ne contient que des ensembles de U. Et le fait qu'il ne se contiennet pas n'implique pas q'il appartient à son complémentaire, qui contient lui ausi uniquement des éléments de U.

En fait il appartient au complémentaire de son équivalent relatif à l'univers V.

[Ben314]

Pour la première question, deux possibilités (qui différent selon les auteurs, mais qui conduisent heureusement au même résultat)

1) Soit tu considère l'égalité comme "sous jacente" à la théorie de ensemble (c'est ton "la théorie des ensembles se plaçait dans un langage logique du premier ordre égalitaire") et dans ce cas, cela signifie que, pour toute proposition P(E) dépendant de E on a : si E=F alors P(E) équivaut à P(F).
Cela te donne mécaniquement la réciproque de ton l'axiome d'extensionnalité et tu peut donc mettre une équivalence ou une implication : cela ne change rien.

2) Perso. je préfère les versions de Z.F. où l'égalité n'est pas "sous jacente" car dans ce cas, le seul et unique symbole de la théorie est l'appartenance.
L'égalité x=y est alors définie par "" : ton axiome devient une définition et c'est évidement une... équivalence.
On a alors, par définition, mais il faut un axiome (encore appelé axiome d'extensionnalité) pour affirmer que

Pour la suite, je ne vois absolument pas de quoi tu parle quand tu dit "paradoxe égalitaire" et, dans tout les cas ce que tu appelle "les deux versions" ne forment qu'une...

Pour ta deuxième question, tu commence par "on veut définir l'ensemble vide" : c'est O.K., mais par contre "on veut construire l'ensemble des ensembles", ça va pas du tout, justement, pour éviter le paradoxe de Russel, on veut ABSOLUMENT qu'il soit impossible de construire l'ensemble des ensembles !!!
En particulier, le point de base de Z.F. est que l'on ne peut absolument pas considérer "l'ensemble des x tels que P(x)" mais uniquement "l'ensemble des x de A tels que P(x)" où A est déjà connu comme étant un ensemble.

[Doraki]

Si je me souviens bien, dans une théorie égalitaire, on a un schéma d'axiomes qui dit que pour toute formule P à 1 variable libre, on a l'axiome :
pour tout x,y, (x=y) -> P x -> P y.

Si tu supposes que tu as ça, alors les deux versions de l'extensionnalité sont équivalentes.

Si tu n'as pas l'égalité je crois qu'on peut quand même la "définir" avec l'extensionnalité (avec une équivalence).
Il me semble bien que pour chaque formule P, il est possible de démontrer : pour tout x,y, "x=y" -> P x -> P y.
edit : ah ben nan c'est idiot, on peut pas montrer x=y -> pour tout z, (x appartient à z <-> y appartient à z)
bon il est tard alors je développe pas et j'dis ça totalement au hasard, mais tous les axiomes de la théorie définissent des ensemble par les éléments qui sont dedans et pas l'inverse,
donc peut-être qu'on peut quand même transformer une preuve de P x en une preuve de x=y -> P y.
Ou alors on fait comme ben et on rajoute un axiome exprès.

Après, je vois pas ce que ça importe.
Quand on regarde le paradoxe de russel, le schéma de compréhension nous donne l'axiome :
Il existe x tel que pour tout y, (y appartient à x) <-> non (y appartient à y).
Duquel on obtient :
Il existe x tel que (x appartient à x) <-> non (x appartient à x).
Et à partir de là tu prouves n'importe quoi tautologiquement, que t'aies une égalité ou pas.

Ensuite, pour l'ensemble vide,
si tu as le schéma de compréhension débridé, tu peux en effet l'utiliser pour obtenir :
Il existe x tel que (pour tout y, (y appartient à x <-> faux)),
que tu mettes non y=y ou (y appartient à y <-> non y appartient à y) ou (A et non A) à la place de faux, ça changera rien.
(de même pour l'ensemble de tous les ensembles)
D'ailleurs, que ton extensionnalité soit avec une équivalence ou une implication, tu peux montrer de toutes façons que pour tout x, x=x, donc ça ne change rien.

Par contre tu peux peut-être plus définir l'ensemble vide comme l'ensemble des x tels que pour tout y, x=y, mais bon c'est pas grave je pense.

(quand on a pas le schéma de compréhension débridé, on a aucun axiome disant "il existe un ensemble" donc on prend un axiome qui dit que l'ensemble vide existe)

[Huan]

Merci de vos réponses, et désolé si je manque de clarté.

Finrod: Je trouve cette "théorie des univers" dont tu parle intéressante (parce que je ne la connais pas mais que j'ai eu des bouts de réflexion qui ressemblent à ce que tu dis), saurais tu me fournir des liens vers des site qui en parlent? Est-ce qu'il y a un article sur wikipédia par exemple? merci d'avance.

Ben314: En fait, mon interrogation concernait ce que tu dis par rapport au propriété (toute les mêmes) pour définir l'égalité, bien que (je m'en rend compte à la lumière de ce que tu me dis) mon cadre était restreint.

Justement en fait: l'équivalence de toute propriété pour deux objets est-elle une conditions nécessaire et suffisante à l'égalité entre deux objets (c'est à dire qu'elle définit ce fait comme tu l'as dit), ou n'est-ce qu'une condition suffisante (cf implication au lieu de l'équivalence dans l'axiome d'extensionnalité)?
Un objet, si il est contradictoire, a des propriétés différentes de lui-même. En est-t-il pour autant autre que lui même (inégal)? Ne peut on être logiquement incohérent avec soi-même, c'est à dire être paradoxal, tout en demeurant soi-même d'une manière plus "primitive" si j'ose dire, que la simple équivalence entre toute les propriétés logique se concernant? (j'ai conscience du manque de rigueur de mon raisonnement)

Pour ce qui est des énoncés de définitions (ne t'inquiète pas je sais qu'il ne vaut mieux pas construire l'ensemble de tout les ensembles), je n'avais pas pour but de me placer dans un cadre non-contradictoire juste d'essayer de définir rigoureusement des objet par compréhension non restreinte.

Qui plus est, dans la théorie ZF même, si on veut construire l'ensemble vide, soit on le fait en partant d'un ensemble fondamental par compréhension (restreinte comme tu l'a effectivement remarqué), soit on l'axiomatise tel qu'elle. Dans les deux cas il faut un énoncé pour le définir, c'est à dire (vu que j'ai confié ma méfiance par rapport à l'énoncé "Pour tout x, x n'appartient pas à E" comme définition car non conforme à la compréhension) d'une propriété toujours fausse dans l'ensemble fondamental considéré.

Or en effet dans la théorie ZF, on ne "veut" pas pouvoir construire l'ensemble des ensemble car si on pourrait le faire la théorie ZF serait contradictoire, mais (même si je ne suis pas ici pour remettre en cause cette admirable théorie) la preuve n'existe pas encore qu'on ne "peut" pas construire cet ensemble, autrement dit, on ne sait pas démontrer la non-contradiction de ZF, même si on la suppose pour trouver de jolis résultats d'indépendance.

Rien n'indique donc (à moins que je ne dise de grosses bêtise après tout je ne suis pas du tout un expert en la matière) que l'énoncé "x n'est pas égal à x" soit apte à définir l'ensemble vide, même en compréhension restreinte, d'où ma difficulté.

Merci d'avance à tout éclaircissement supplémentaire que tu voudra bien m'apporter.

Doraki: J'ai évoqué l'égalité plus haut, mais j'ai conscience que ce que j'en dis peu paraître un peu "gros" et informel... Comme tu le dis, effectivement, mes questions n'ont rien de grave, c'est juste des petite bizarreries que j'ai engendrées dans mon esprit tordu, mais j'ai du mal à croire à ton "faux" que tu met dans l'énoncé néanmoins et le reste, comme tu a pu le voir, me pose aussi problème. Merci néanmoins.

[busard_des_roseaux]

bonjour,

est-ce que l'on distingue l'égalité de l'équivalence ?
sur l'exemple

1=0,999999...

1, c'est compréhensible par un tout jeune enfant
0,9999... pas compréhensible avant 8-9 ans.
:marteau:

[Ben314]

Concernant ton attitude : "je n'avais pas pour but de me placer dans un cadre non-contradictoire", je te rapelle que, si une théorie contient une contradiction (même toute toute toute petite...) alors toute proposition y est simultanément vrai et fausse, donc la notion de définition n'a plus aucun interêt vu que tout les objets auront la propriété (et que, simultanément, ils vérifieront tout la négation de la propriété). En particulier, dans une théorie des ensembles contradictoire, n'importe quel ensemble est à la fois égal à lui même et non égal à lui même et ceci, quel que soit la définition que tu donne à l'égalité. Je ne voit donc absolument pas l'intérêt de parler "d'objets contradictoire" : soit aucun ne l'est, soit ils le sont tous...

Pour la définition/construction de l'ensemble vide, comme Doraki te l'as dit, il suffit de considérer un proposition logiquement fausse, n'importe laquelle fait l'affaire.

Pour ce qui est de la non contradiction de Z.F., effectivement, "on ne sait pas encore", mais en fait, on sait plus que ça : si elle est non contradictoire alors on sait qu'on en aura jamais la preuve (en un certain sens du mot preuve...) Par contre on risque un jour d'avoir la preuve qu'elle est contradictoire.

Se poser la question de quelle définition prendre pour l'ensemble vide au cas ou elle est contradictoire est... sans queue ni tête : si la théorie est contradictoire, TOUTE proposition est à la fois vrai et fausse (bis et répétita) donc, QUELQUE SOIT la définition que tu donne à l'ensemble vide, TOUT ensemble est vide et TOUT ensemble est non vide, la proposition "l'ensemble vide est unique", est, comme TOUTES les autres propositions, à la fois vrai et fausse...

[Huan]

J'ai saisi l'idée je crois. Merci pour vos éclaircissement, je suis plus rassuré à présent.

Une dernière chose: cette théorie des "univers" dont l'un de vous m'a parlé, quelqu'un connaitrait-il par hasard un site en parlant?

Merci encore ^^, à bientôt pour une autre question (ça ne saurait tarder).

[Finrod]

J'ai trouvé ça déjà

http://fr.wikipedia.org/wiki/Univers_(logique)