Problème ensembliste

[Abilys38]

Bonjour

Je dois démontrer plusieurs propriétés avec P(E). La première est la suivante:

Quelle relation entre P(EUF) et P(E) U P(F)
J'en ai d'autres, mais je ne comprend pas, quels sont les changements dans le raisonnement par rapport à quand on démontre des relations entre des ensembles.
Ex: montrer que E inclus dans F si ....

Je pensais partir du fait que P(EUF) avec E contient x éléments er F contient y éléments = 2^(x+y) éléments.

Pouvez vous m'orienter un peu? Dans le cours, nous n'avons aucune formule avec P(E) mis à part 2^n.

Merci

[samoufar]

Bonjour,

Pour la première propriété, l'inclusion est immédiate.

L'autre inclusion est fausse en général, comme le montre l'exemple et la partie qui n'est ni dans ni dans .

Au passage, la formule dans le cas où est fini montre le résultat ci-dessus si tu l'appliques à deux ensembles finis disjoints (puisqu'en général ).

[Abilys38]

Donc, pour la même question avec des intersections:

C'est l'inverse ?

[Robot]

Que veut dire "l'inverse" ?
Essaie de t'exprimer précisément, ça te sera bénéfique.

[Abilys38]

Soient E{1,2,3,4} et F{3,4,5,6}

P(EnF) = {3,4} inclus dans E ET dans F.
Par contre, Ni E, Ni F, sont inclus dans (EnF).

De manière générale, la seule possibilité pour que il y ait la double inclusion est que E et F soient un meme ensemble.

[Robot]

Tu t'es trompé : tu as écrit , par .
Ne fais pas la confusion entre un ensemble et l'ensemble de ses parties !

: l'ensemble des ensembles contenus dans .

: l'ensemble des ensembles qui sont à la fois contenus dans et contenus dans .

[Abilys38]

Soient E ={1,2,3,4} et F ={3,4,5,6}

P(EnF) = {3,4} inclus dans P(E) ET dans P(F).
Par contre, Ni P(E), Ni P(F), sont inclus dans P(EnF).

De manière générale, la seule possibilité pour que il y ait la double inclusion est que E et F soient un meme ensemble.

La c'est bon?

[Robot]

Non, pas du tout bon.
Lis-tu ce que j'écris ?
Tu ne fais toujours pas la différence entre (l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à et à ) et (l'ensemble des ensembles qui sont contenus dans ). Dans ton exemple:

[Abilys38]

Excuse moi, j'avais pas compris, je pensais que tu parlais de ma manière d'écrire ma réponse !!

Ok j'ai compris la différence.
Par contre, la réponse finale est la même du coup, non? C'est à dire que il n'y a pas double inclusion, et que seul P(EnF) c P(E) n P(F) ?

Merci en tout cas !!
J'ai peut être du mal à matérialiser P(E) n P(F)

[Robot]

Par contre, la réponse finale est la même du coup, non? C'est à dire que il n'y a pas double inclusion, et que seul P(EnF) c P(E) n P(F) ?

Non tu te trompes. Relis soigneusement mes messages.

[Abilys38]

Ok je reviendrai avec une réponse quand Jaurai une feuille et un stylo ce sera plus simple !!

[Abilys38]

E = {1, 2, 3}
F = {2,3, 4}
EnF = {2,3}

A partir de la:

P(E) = {0,1,2, 3,12, 13, 23, 123} et
P(F) = {0, 2,3,4,23,24,34,234}
P(EnF) = {0, 2, 3, 23} basé sur EnF
P(E) n P(F) = {0, 2, 3, 23} basé sur P(E) et P(F)

Il y a donc double inclusion (égalité)?

[Robot]

Il y a du progrès mais :
1°) Tes écritures sont incorrectes. Il manque les accolades, etc.
2°) Un exemple n'est pas une démonstration (démonstration qui n'est pas compliquée)

[Abilys38]

1) ok je ferai attention a ca
2) ok je vais réfléchir à la démonstration. Mais j'avais besoin de comprendre le mécanisme avant.

[Abilys38]

Soit n le nombre d'éléments communs à E et F. P(EnF) = 2^n

Par ailleurs, P(E) n P(F) correspond aux nombres de sous parties communes à P(E) et P(F) soit exactement les mêmes sous parties que pour P(EnF). Ainsi:
P(EnF) = P(E) n P(F)

[samoufar]

Bonjour,

Attention à la définition de , il s'agit d'un ensemble et non d'un nombre. Donc quand on dit que , il s'agit d'une égalité d'ensemble, au sens où il y a une double inclusion entre les deux.

D'ailleurs, tu sembles mélanger nombre et ensemble dans ta rédaction.

Au passage, ta rédaction laisse penser que tu dis :
• Soit que "les deux ensembles ont le même nombre d'éléments donc ils sont égaux
• Soit que tes deux ensembles sont égaux parce qu'ils ont les mêmes éléments, ce qui est LA chose à démontrer ici (ce que tu ne fais pas ici puisque tu dis qu'ils sont égaux parce qu'ils sont égaux ).

Ici, tu veux montrer une égalité d'ensembles. Procèdes donc par double inclusion :
• D'abord, montres que
• Ensuite, montres que

Puis pour montrer que , c'est classique :
"Soit . Alors [...] Donc ."
Le [...] va dépendre des propriétés de et .

[Abilys38]

Justement, pour des ensembles, je procède avec x appartient ...
Mais avec des sous ensemble, je ne sais pas trop comment faire. J'étais habitué à démontrer des inclusions avec de simples ensembles et non avec des parties.

Je sais comment prouver que A c B mais prouver ce que je dois prouver ici, c'est une autre histoire

[samoufar]

L'idée ici est que le dont tu parles est un ensemble.

Robot t'as déjà expliqué ce qu'étaient et :

: l'ensemble des ensembles contenus dans .

: l'ensemble des ensembles qui sont à la fois contenus dans et contenus dans .

Demandes-toi alors : si je prends un ensemble contenu dans , est-ce qu'il est contenu à la fois dans et dans ? Et réciproquement ?

La démonstration devrait alors venir d'elle-même

[Abilys38]

Ok je vais essayer, merci. Et comment appelles tu un ensemble lambda? (C'est à dire au lieu de x)

[Robot]

Et comment appelles tu un ensemble lambda?