Incompatibilité, notion ensembliste ou probabiliste ?

[Skullkid]

Aucun élève de lycée ne se verra enseigner le concept d'événement indépendants via uniquement la définition. Évidemment que pour enseigner ces choses-là la première fois il faut passer par une définition intuitive et non-mathématique. De même que pour enseigner les vecteurs on utilise des flèches. Je trouve ça très bien et l'échec historique des "maths modernes" à l'école va dans ce sens.

C'était d'ailleurs bien l'objet de mes posts depuis le début. Faire des maths et enseigner les maths c'est pas la même chose. Introduire un concept à des élèves et le poser rigoureusement c'est pas la même chose. Le sens d'un mot tel que défini en maths - ou dans un contexte technique quelconque - n'a aucune raison d'être identique à son sens usuel. Je ne fais pas de jugement de valeur, je dis qu'il faut distinguer les choses.

Oui, on a choisi de donner le nom "événements indépendants" à tel concept mathématique. Non, ça ne correspond pas exactement à l'idée intuitive qu'on se fait d'événements indépendants (voir l'exemple d'aviateur). Mais, oui, le lien est quand même suffisamment fort pour que ce nom soit resté. Si on les avait nommés "événements jaunes" on n'aurait pas cette discussion, et à la place je serais peut-être en train de répondre à des plaintes comme quoi nos chères têtes blondes sont bloquées par ce concept parce qu'elles n'arrivent pas à rattacher ça à un truc intuitif, ou ne comprennent pas pourquoi les événements peuvent être jaunes dans un exercice où il est question d'une urne remplie de boules rouges et noires. Tout ça partant de la question d'ordre purement mathématique "l'incompatibilité est-elle une notion ensembliste ou probabiliste ?", question qu'on ne peut même pas avoir l'idée de se poser si on a pas largement dépassé le niveau d'une introduction de lycée aux probas.

[zygomatique]

je pense que tu mélanges des choses en parlant d'univers : terme qu'on utilise en proba ...


en seconde on a la définition : deux parties A et B d'un ensemble E sont disjointes si leur intersection est l'ensemble vide : (notion ensembliste)

en première : on introduit les proba (sur des ensembles finis)

en particulier une proba P vérifie :

et on rajoute la définition : deux événements sont incompatibles si

dans le cas fini (pas d'ensemble de mesure nulle et autre horreur) on a donc : incompatibles = disjoints

être incompatible est donc une notion ensembliste



pour ce qui est de l'indépendance c'est la même chose : on a la définition :

les événements A et B sont indépendants si (et seulement si)

épictou


après on sent naïvement (on donne un sens concret) : être (ou pas) liés en un certain sens qu'on se donne : l'important c'est que sens, cette idée qu'on se donne soit bonne


et je ne cherche pas à savoir pourquoi on a posé cette définition ou pas une autre

quand le feu est rouge je m’arrête, quand le feu est vert je ne m’arrête pas ... et je ne cherche pas à savoir pourquoi on a choisi les couleurs rouge pour s’arrêter et verte pour ne pas s’arrêter ...

j'apprend simplement la définition puis quand j'arrive à un feu je vérifie sa couleur pour savoir si je m’arrête ou non ...

idem pour savoir l'indépendance de deux événements A et B ...


évidemment ensuite j'essaie quand même aussi de (me) donner un sens comme par exemple avec des cartes qu'est-ce que ça veut dire "être indépendants" avec les événements :

A = "être une figure"
B = "être un cœur"
C = "être une dame"

...

[beagle]

et voilà skullkid:

pour ce qui est de l'indépendance c'est la même chose : on a la définition :

les événements A et B sont indépendants si (et seulement si)

épictou


ben bof quoi.
c'est assez drole car d'habitude zygomatique est pour l'usage du français plutôt que les notations mathématiques dans les rédaction.Et là pour apprendre la définition de indépendant ben c'est un truc maths
Alors que dire les évènements sont indépendants quand connaître l'un ne m'apporte rien sur l'autre, et les évènements sont liés quand connaître l'un me renseigne sur l'autre, c'est tout a fait des notions de français compréhensibles et applicables ensuite.M'enfin!

[Pseuda]

Bonsoir,

Finalement, indépendance de 2 événements ou probabilité d'un événement simple, rien n'est démontré, c'est donné en définition.

Par exemple, on ne "démontre" pas que la proba des événements face et pile lors du lancer d'une pièce bien équilibrée est 1/2 - 1/2. C'est donné en définition, on "donne" cette proba simple via un axiome (équiprobabilité).

C'est assez frustrant. Mais il faut bien démarrer quelque part. Et c'est toujours pareil, même si ensuite on introduit une théorie rigoureuse, rien ne dit qu'elle correspond réellement à notre perception. Mais enfin il n'y a pas moyen de faire autrement. Et on vérifie seulement après coup (grâce à un théorème je ne sais plus lequel) que les résultats correspondent à notre perception (en lançant un grand nombre de fois la pièce, la fréquence tend vers 1/2 - 1/2).

[zygomatique]

là je te rejoins : c'est de l'induction : à partir de cas particuliers concrets on généralise des propriétés pour en faire une théorie générale ... qui tient la route !!

[beagle]

Skullkid:"Aucun élève de lycée ne se verra enseigner le concept d'événement indépendants via uniquement la définition. Évidemment que pour enseigner ces choses-là la première fois il faut passer par une définition intuitive et non-mathématique."
bon déjà on a vu deux profs zygomatique et Pseuda qui ne disent pas tout à fait cela.
Mais ce que je trouve plus grave c'est que la définition mathématique , les formules des probas indépendantes et conditionnelles se démontrent de définitions en français, probas A et probas B sont indépendantes lorsqu'il n' y pas de lien entre les deux, connaître l'une n'apporte rien sur la proba de l'autre.Lorsque tu dis ce simple truc qui dit d'une façon claire qui sera revue après que proba de A sachant B égale proba de A c'est l'indépendance.
Donc c'est tout de même dommage, alors que oui la définition d'indépendance se fait par les probas, mais il n'empèche que la lecture de ce que cela signifie est entièrement ensembliste.Et cette lecture ensembliste est démonstration des formules pondues que l'on fait préexister.Non la formule maths que l'on apprend pour indépendance n'est pas première, elle découle de mots en français qui expliquent avec un usage habituel , lié et pas lié = indépendant.

je ne retrouvais plus ta phrase Skullkid:"Je trouve ça très bien et l'échec historique des "maths modernes" à l'école va dans ce sens."
car clairement on a jeté le bébé avec l'eau du bain!
Et s'agissant de nouvelles méthodes pédagogiques on pourrait presque dire qu'il s'agit de méthodes globales: donner la définition maths de l'indépendance pour voir en même temps ce qu'elle traduit.C'est du globalisme qui nie les sequences.C'est idem lorsque pour retrouver le sujet d'une phrase, il faut aujourd'hui faire:
c'est ... qui fait l'action.
la réponse et la question sont UNE = méthode globale.
de mon temps il y avait une question: qui est-ce qui fait l'action? et une réponse c'est ... qui (action = le verbe)

[Skullkid]

on ne "démontre" pas que la proba des événements face et pile lors du lancer d'une pièce bien équilibrée est 1/2 - 1/2. C'est donné en définition, on "donne" cette proba simple via un axiome (équiprobabilité).

Exactement. Personne ne pourra jamais démontrer mathématiquement que le pile ou face obéit aux mêmes règles que l'espace probabilisé qui va bien, ce n'est qu'une hypothèse. En revanche, on a une quantité formidable d'observations expérimentales qui valident cette hypothèse. Certes, c'est un peu frustrant intellectuellement parce que l'évidence empirique est sous nos yeux et personne n'en doute, mais c'est comme ça, les raisonnements mathématiques portent uniquement sur des objets mathématiques, qui ne sont jamais que des abstractions.

Skullkid:"Aucun élève de lycée ne se verra enseigner le concept d'événement indépendants via uniquement la définition. Évidemment que pour enseigner ces choses-là la première fois il faut passer par une définition intuitive et non-mathématique."
bon déjà on a vu deux profs zygomatique et Pseuda qui ne disent pas tout à fait cela.

Je ne les ai pas vus dire ça dans cette discussion. Qu'ils me corrigent si je me trompe, mais zygomatique n'a fait qu'insister, come moi, sur la définition mathématique, il n'a rien dit sur la façon dont il l'enseignait ou dont il pense qu'il faudrait l'enseigner à des élèves de lycée. Quant à Pseuda, il me semble qu'elle insiste justement sur l'importance des approches intuitives, comme quand elle parle de l'univers.

Mais ce que je trouve plus grave c'est que la définition mathématique , les formules des probas indépendantes et conditionnelles se démontrent de définitions en français

Non, on peut (et a mon avis on doit, quand on enseigne) expliquer "l'esprit" des définitions/démonstrations qu'on fait en proba, et comment on peut interpréter les résultats. Mais, j'insiste, une phrase du genre "probas A et probas B sont indépendantes lorsqu'il n' y pas de lien entre les deux, connaître l'une n'apporte rien sur la proba de l'autre" ne constitue en rien une définition mathématique, et ne peut servir de socle à une démonstration mathématique. C'est comme ça. Et je ne dis pas ça parce que je serais un fétichiste qui ne supporterait pas l'absence de symboles matheux dans une définition ; "deux événements sont indépendants si et seulement si la probabilité de leur intersection est égale au produit de leurs probabilités" est une définition mathématique.

Et naturellement, on adapte son discours selon à qui on parle. Ma réponse n'aurait certainement pas été formulée de la même façon si la question mathématique initiale avait été posée par toi, ou par un lycéen. Je sais que Pseuda a le bagage mathématique nécessaire pour comprendre sa question, ma réponse et mes arguments. Je sais aussi que tu n'as pas ce bagage (c'est pas une insulte, hein), et que si tu avais posé cette question, tu l'aurais prise sous un angle pédagogique comme tu le fais maintenant, alors que ça n'a vraiment aucun rapport avec le sujet initial. La question initiale est purement technique. C'est un peu comme si Pseuda demandait à quelle section du manuel Ikea il fallait se référer pour construire un toboggan dans son jardin, et que tu venais lui répondre que la balançoire, c'est plus amusant.

[beagle]

"Non, on peut (et a mon avis on doit, quand on enseigne) expliquer "l'esprit" des définitions/démonstrations qu'on fait en proba, et comment on peut interpréter les résultats. Mais, j'insiste, une phrase du genre "probas A et probas B sont indépendantes lorsqu'il n' y pas de lien entre les deux, connaître l'une n'apporte rien sur la proba de l'autre" ne constitue en rien une définition mathématique, et ne peut servir de socle à une démonstration mathématique. C'est comme ça. Et je ne dis pas ça parce que je serais un fétichiste qui ne supporterait pas l'absence de symboles matheux dans une définition ; "deux événements sont indépendants si et seulement si la probabilité de leur intersection est égale au produit de leurs probabilités" est une définition mathématique."

bah l'autre définition de l'indépendance est proba de A sachant B égale proba de A.
cela ne fait que reformuler la proba de A ne dépend pas de B.
Et avec cela tu as ta formule avec l'inter.
Parce que les formules de p de A sachant B ben cela se trouve, cela se lit dans une simple patate,
ce qui évite d'apprendre pa cœur des trucs que tu oublies ou inverse.Le jour d'un examen où tu paniques un peu, ou tu stresses, ben c'est bien d'avoir le support adequat qui retrouve des formules complètement logiques .

Et tu peux me vanner autant que tu veux,
tu verras que je ne suis pas intervenu sur le fil de discussion initial,
j'ai commencé sur tes remarques (d'ailleurs en espérant ètre repris pour explications, mais j'ai pas eu, pas grave je m'en tape) et ensuite tu peux vanner mais ce fil parle effectivement de pédagogie.Et si je ne suis pas plus qualifié que cela pour en parler, je me sens capable d'interroger et d'argumenter quelques passages.

[beagle]

Voilà la question de pseuda en page 1:
"Ceci dit, dans le secondaire, on a parfois l'impression d'une supercherie. Je m'explique. Par exemple (je change de sujet), on ressent ce que sont 2 événements indépendants, on ressent que leurs probabilités se multiplient, sauf que ce n'est pas démontré et que c'est posé en définition de 2 événements indépendants.

Du coup, on se demande si le fait que pour 2 événements, on trouve que la proba de leur intersection est le produit de leurs probas, va bien faire que ces 2 événements sont bien indépendants au sens où on le ressent."

ben oui cela doit me passer au-dessus, parce que cela me désole de lire ça, messieurs les professionnels skullkid et pseuda.

[Skullkid]

Nulle part je ne t'ai vanné ou je me suis moqué. Si tu crois ça c'est que tu ne comprends que ce que tu veux comprendre et qu'il n'y a pas donc pas de discussion possible entre nous... D'ailleurs je n'ai jamais parlé pédagogie dans ce topic avant ta première intervention, j'ai uniquement insisté sur le décalage entre le sens commun des mots et leur sens mathématique, et sur le fait que quand il on se retrouve face à un tel décalage en faisant des maths, c'est évidemment le sens mathématique qui doit prévaloir. De façon générale, comme tu t'en es sans doute rendu compte, sur ce forum je préfère limiter mes interventions à des questions purement mathématiques ou physiques et on ne me verra que très rarement sur des topics de pédagogie. Ce n'est pas que la pédagogie ne m'intéresse pas, c'est que je n'ai pas envie d'en discuter ici.

Pour ce qui est des maths, on peut en effet définir l'indépendance via p(A sachant B) = p(A), le seul souci est que p(A sachant B) n'est défini que si p(B) est non nul, alors que la définition via la probabilité de l'intersection couvre aussi le cas particulier où l'un des événements est de probabilité nulle. Mais outre ce cas particulier, les deux définitions sont en effet équivalentes et utiliser l'une ou l'autre ne pose aucun problème, pour peu qu'on ait définit les probabilités conditionnelles mathématiquement, bien sûr...

Je m'arrête là sur ce topic, à moins qu'une autre question mathématique ne soit posée.

[beagle]

et bien puisque je ne comprends pas plus que le message de pseuda sur l'indépendance cette phrase:
"Par exemple, on ne "démontre" pas que la proba des événements face et pile lors du lancer d'une pièce bien équilibrée est 1/2 - 1/2. C'est donné en définition, on "donne" cette proba simple via un axiome (équiprobabilité). "
comme skullkid trouve que cette phrase a du sens, bien vous en fasse à tous messieurs les professionnels du site.

[beagle]

et bien puisque je ne comprends pas plus que le message de pseuda sur l'indépendance cette phrase:
"Par exemple, on ne "démontre" pas que la proba des événements face et pile lors du lancer d'une pièce bien équilibrée est 1/2 - 1/2. C'est donné en définition, on "donne" cette proba simple via un axiome (équiprobabilité). "
comme skullkid trouve que cette phrase a du sens, bien vous en fasse à tous messieurs les professionnels du site.

Maintenant s'il s'agit de se faire peur, de douter , de remettre en question comme dans le paradoxe de Bertrand le choix de l'équiprobabilité.Il est spécifié dans ce paradoxe que:
"Le paradoxe de Bertrand met en évidence la dépendance à la méthode de sélection d'une corde « au hasard ». Dès que cette méthode est spécifiée, le problème possède une solution bien définie"
Donc pour se faire peur avec une pièce sur le choix des faces, ce n'est pas un problème de définition mathématiques des probabilités, mais de définition mathématique de ce qu'est une pièce de monnaie.Dont on sait depuis ce fil qu'il y a trois choix de seléction qui sont :pile, face, et courgette.
Donc c'est vrai que l'équiprobabilité dans la pièce de monnaie devrait ètre à 1/3.Zut alors c'est pas facile .

[beagle]

et donc finalement c'est bien l'aléatoire, le hasard qui pose problème contrairement à ce qui a été dit plus haut dans le fil.Une corde au hasard, c'est bien cet aléatoire qui pose soucis, non?

Pseuda: "Dans le secondaire, on fait des définitions simples compréhensibles par tous. Tout le monde comprend ce qu'est une expérience aléatoire, (comme cela a certainement dû être compris par les premiers probabilistes avant d'être théorisé pour plus de rigueur)."

Skullkid:"Tout le monde comprend ce qu'est une expérience aléatoire, ça n'empêche pas que ce n'est pas un objet mathématique"

Permettez moi d'en douter fortement.

[beagle]

Probas, indépendance , probas liées
Si la définition est bien probabiliste, (comment dans l'exemple de pascal peut-on dire indépendance ou non, il n' y a pas de probas!!!!!), le support de reflexion est bien ensembliste(d'ailleurs A inter B ça fait vachement ensembliste).
Donc je n'ai pas la compétence pour dire comment cela s'enseigne, mais j'en cause quand même:
-donner des exemples, approche ressentie, intuition, c'est OK
-donner des définitions, pour faire les démonstrations, c'est OK

mais pour moi il manque l'essentiel,
les définitions se déduisent, on les retrouve naturellement
les définitions ne sont pas premières, du moins celle que l'on annonce comme LA définition de l'indépendance.

Dans le cas contraire, on a le type qui apprend bien sa leçon, c'est indépendant parce que je vérifie patati patata, mais le type n'a pas obligation de comprendre ce qu'il ya derrière.génant.(c'est proportionnel parce que le produit en croix!!!)
Ou bien on a le cas relevé par pseuda, je comprends que c'est indépendant, je sais démontrer que c'est par la formule, mais je ne comprends pas pourquoi la formule démontre ce que je ressens.
Ou bien encore on a ceci:
lycee/proba-help-t184999.html
je ne sais pas m'orienter, je n'ai pas de support à l'abstraction pour faire mon raisonnement, et les formules sont fausses parce que il y a bien du p de l'inter et cest à multiplier ou à diviser à votre bon cœur par le p de A ou de B.

Et la remarque de skulkid sur l'échec des maths modernes m'interroge sur le type d'enseignement que l'on reçoit en prépa et grandes écoles.Je me souviens d'une vidéo hilarante, extraordinaire d'une sous-colle de prépa, c'est fait par des X parait-il.Et il me semble que cela commence ainsi, il y a une question sur l'intersection d'espaces vectoriels , je crois.Il dessine une patate et se fait allumer...je ne suis plus sur, mais voilà qui serait bien éclairant sur le pourquoi de l'absence de support ensembliste donné à l'abstraction des probas.Or proba totale c'est le 1, le 1 c'est le tout, les autres trucs sont des parties.Lorsqu'on passe au sachant B on change le 1, on change le tout, on change l'ensemble, mais bon ...
j'ai eu de bonnes discussions avec Ben314 qui disait que la patate n'aidait pas forcément ses sélèves, ce qui m'avait surpris.Reste à comprendre à qui et quand cela aurait pu ètre profitable = peut-être que pour les élèves deBen314, il est tard , trop tard pour certains...

PS: retrouvé la vidéo, trop bon
https://www.youtube.com/watch?v=a40AFf5sAco

[pascal16]

Pour ce qui est des maths, on peut en effet définir l'indépendance via p(A sachant B) = p(A), le seul souci est que p(A sachant B) n'est défini que si p(B) est non nul, alors que la définition via la probabilité de l'intersection couvre aussi le cas particulier où l'un des événements est de probabilité nulle.

Je confirme, que l'indépendance se construit bien dans nos têtes comme ça : p(A sachant B) = p(A). Par cette vision, on peut même voir l'influence de tel ou tel paramètre et commenter la différence, et même dire que c'est pareil quand la différence est faible.
La seconde formule est là pour éviter les cas avec un ensemble vide. On a tendance à conclure vite des choses pas toujours vraie dans le monde réel. Cette deuxième vision sera ensuite réutilisée dans les statistiques plus poussées et n'est donc pas inutile.

Ceux qui regardent les énoncés de proba conditionnelle du bac comprennent de suite que pour connaitre les données nécessaires à l'exercice, il faut avoir fait des stats qui donnent déjà le résultat. C'est donc bizarrement un exercice qui sert plus à comprendre les probabilité de tous les jours qu'à une utilité purement mathématique.

[pascal16]

j'ai eu de bonnes discussions avec Ben314 qui disait que la patate n'aidait pas forcément ses élèves

Je confirme aussi pour ce qui est de la seconde, les tableaux à 2 entrées sont plus lisibles et compréhensibles et on peut déjà faire de la proba condi dessus sans le dire (alors que les chiffres dedans sont le mêmes).

[beagle]

Pascal:"Je confirme, que l'indépendance se construit bien dans nos têtes comme ça : p(A sachant B) = p(A). "

ouf!
le sachant B, ne me renseigne pas sur la proba de A.
c'est à la fois exprimable en langage français, et donc non ce n'est pas éloigné du tout du sens commun de indépendant ou lié, au contraire c'est très éclairant,
et la formule plus générale se déduit de cela.

Si on reprend ta réponse à Biss de l'exo en référence que j'ai mis plus haut.
Tu apportes deux soutiens à l'abstraction:
l'arbre des probas
le tableau

avec l'arbre des probas que devient, que signifie , que veut dire le sachant truc ne me renseigne pas de l'indépendance, ben tout simplement que les flèches de second ordre seront les mèmes à placer pour toutes les flèches de premier ordre.Sauf que c'est ici inversé si A puis B, connaître les branches de A ne m'apporte rien, à toutes les branches de A j'apporte les mèmes branches B.
Probas liées des branches de premier ordre il partira des branches de second ordre différentes

avec le tableau, rien à redire, un tableau est une fritte, c'est une patate qui n'est plus arrondie mais rectangulaire.Dans le tableau je sais lire où est le sachant A ou B et ...

[beagle]

j'ai eu de bonnes discussions avec Ben314 qui disait que la patate n'aidait pas forcément ses élèves

Je confirme aussi pour ce qui est de la seconde, les tableaux à 2 entrées sont plus lisibles et compréhensibles et on peut déjà faire de la proba condi dessus sans le dire (alors que les chiffres dedans sont le mêmes).

pas eu le temps de lire avant le message du dessus.
Le tableau pour moi est une forme de patate, de sorte que ce n'est pas la patate qui en soit serait digérable ou non, c'est son mode de préparation, en fritte, à la vapeur, au four etc... plus la sauce parce que les patates sèches!

[pascal16]

Y a des féculents dans la patates, donc des sucres lents, ça aide à tenir la journée.

[beagle]

Pour continuer avantages inconvénients des supports au raisonnement.

lycee/probabilite-exerice-t185051.html
Personne ne peut contester l'apport de l'arbre.Mais un des défauts de l'arbre est la bonne compréhension de ce qui constitue le 1.Où est le 1 (à chaque somme des branches).Il n'est pas rare que cela ne soit pas compris assimilé.Et alors que la multiplication des branches passe plutôt bien (quoique!), savoir ce qui est le 1, n'est pas immédiat.
C'est pourquoi j'aime les ensembles.Quel ensemble, de quel 1 parle-ton?C'est direct en théorie ensembliste.
Et c'est primordial dans le sachant B, c'est LA difficulté du sachant B.B est le 1 alors qu'il ne l'est pas comme 1 total de l'exo, comme 1 initial de l'exo.
Et dans l'exo que tu as corrigé on voit bien que le gars veut une formule,
car la somme des probas de même niveau de branche ne fait pas sens pour lui.