EXO

[Obito31]

Bonjour à tous
Voilà j'ai une question d'un exo ( javai déjà fait un post pour la question 1, merci à ben de m'avoir aider)

Énoncer : soit E un K-espace vectoriel de dimension fini et et B=(e1,...,en) une base de E et B' l'espace des formes bilineaire sur E. On note (e1*,...,en*) la base dual de B
On défini une application :
b : E*×E* ---> B', (l,m) ---> l.m où (l.m)(u,v)=l (u).m (v)

1) b n'est pas lineaire Et n'est pas injective

2) si l=(sigma)ai.ei* et m=(sigma)bi.ei* ( i allant de 1 à n ) donner la matrice de b (l,m) dans la base B et calculer son rang

Alors pour la matrice :
b (l,m)=l.m qui est une forme bilineaire donc pour trouver sa matrice dans B on calcule les (l.m)(ei,ej)=l (ei).m (ej)=ai.bj= coefficient de la matrice dans B :

a1.b1 a1.b2 .... a1.bn
a2.b1 a2.b2 .... a2.bn
.
.
an.b1 an.b2 .... an.bn

Et cette matrice est bien de rang 1 car elle est composer de combinaisons lineaire du vecteur (ai) ( i allant de 1 à n )

3) montrer que toute forme bilineaire dans la matrice dans B est de rang 1 est l'image par b d'une paire de vecteur. En déduire, avec la question précédente, l'image de b, et monter que ce n'est pas un s.e.v de B'

4) monter que (b (ei,ej) : (i compris entre 1 et n et pareil pour j) est une base de B'

Je bloque à la question 3 de ce que j'ai compris il faut que je montre:
Pour tout b' appartenant à H il existe l,m appartenant à E*×E* tel que b (l,m)=b' (où H est l'ensemble des forme bilineaire dont la matrice est de rang 1 dans B )
Donc il faut montrer que b est une surjection entre E*×E* et H ? Or dans la question 2 on a montrer que l'image de b donne des forme bilineaire de rang 1 donc le résultat est démontrer ? Je comprends pas

[Ben314]

(re)Salut,
Une petite remarque concernant la 3) : la matrice que tu donne est correcte, mais elle n'est pas forcément de rang 1 : si l ou m est la forme linéaire nulle alors b(l,m) est l'application bilinéaire nulle et sa matrice est de rang 0.

Sinon, concernant ta question, je comprend pas trop de quoi tu parle : c'est qui que tu appelle H ?

Perso, vu ce qui a déjà été fait à la question 3, il me semble que la question est "bébête" : on te demande juste de montrer que toute matrice de rang 1 peut s'écrire sous la forme que tu as donné à la question 3. Epicétout.

Sinon, pour la 4), b(ei,ej), vu le contexte, ça veut rien dire.
Si c'est effectivement ça qui est écrit, c'est évidement b(ei*,ej*) qu'il faut lire à la place.

[Obito31]

Re salut et encore merci pour ton aide

Ahh oui en effet javai pas penser au cas où une des 2 formes est l'application nul.. merci

Et pour la question 3 j'ai appeller H l'ensemble des forme bilineaire dans la matrice dans B est de rang 1 et comme il demande de montrer que pour toute forme bilineaire de rg 1 il existe 2 vecteur l,m de E*×E* tel que b (l,m)=b' où b' est un élément de H je pensai qu'il falai que je montre que b est surjective ..
Mais sinon est ce que je doit expliciter les forme bilineaire de rg 1 et essayer de voir un lien avec la fonction b ? Je sent que sa alaire "bébête" comme tu dit mais je suis un peu embrouiller..

Et pour la 4 oui c'est ce qu'il est écrit dans la feuille de td il y a une erreur alors, merci ben.. javai juste survoler cette question mais c'est vrai que j'avais trouver sa bisard que b prend des éléments de E et non pas de E*..

[Ben314]

Quand je dit que c'est "bébête", ça veut pas forcément dire évident : il y a quand même un petit raisonnement à tenir.
Par contre, au fond, il n'est nul besoin de parler de surjectivité ou de forme bilinéaire "théorique" ni même de l'application b de l'exercice : tu a calculé au 3) la matrice de l'image d'un couple (l,m) et tout ce qu'il y a à faire, c'est de montrer que toute matrice de rang 1 peut s'écrire sous cette forme là et c'est tout.

A la limite, mais ce n'est pas demandé, tu peut même regarder si la façon d'écrire une matrice de rang 1 sous cette forme est unique ou pas : ça permettra de voir en plus si l'application (non linéaire) b est injective ou pas.

[Obito31]

salut ben,

alors si j'ai bien compris je doit dire que comme une matrice de rang 1 équivaut a ce que les vecteur colonne de la matrice soit toute multiple d'un seul vecteur colonne :

soit (A B C ... etc ) une matrice de rang 1 où A=vecteur colonne (ai) , et pareil pour le reste
donc A=1.A B=c1.A C=c2.A .. etc où (ci est un scalaire) et donc elle s’écrit sous forme précédente

c'est bien sa ?

[Ben314]

Sur le principe, c'est O.K., mais comme d'habitude, la rédaction est "bof bof" : et si le premier vecteur colonne A de ta matrice est entièrement nul, est ce que les autres vont forcément être des multiples de A ?

[Obito31]

faut vraiment que je bosse ma rédaction..

Bon je reprend comme la matrice est de rang 1 il existe au moins un vecteur colonne V1 non nul dans la matrice et au faite il faut que tout les vecteur colonne de la matrice soient colinéaire c'est a dire que n'importe quelle vecteur de la matrice peut s'écrire comme combinaison linéaire du vecteur V1

soit V1 un vecteur colonne non nul alors tout vecteur Vi peut s'écrire comme Vi=ai.V1 avec ai appartenant à R

[Ben314]

Là, c'est bon.
Et en plus, il y a unicité de l'écriture sous la forme sus mentionnée dans le cas où la matrice est effectivement de rang 1, c'est à dire unicité de la "paire de vecteurs".
Perso, j'aurais aussi traité le cas du rang 0 (=matrice nulle) vu qu'à la question 2, c'est ça qu'on obtient.

[Obito31]

daccord merci ben

euh je comprend pas l'unicité par exemple la matrice de rang 1 :
2 6
4 12
peut secrire

1(2,4) 3(2,4)

peut s'ecricre aussi:

1/3(6,12) 1(6,12)

[Ben314]

Oui, effectivement : c'est moi qui dit des conneries....

[Obito31]

Ah c'est rien ^^ merci bcp pour ton aide ben