Exo prepa Henri IV

[tize]

oui est integre puisque (qui est un corps) l'est.

[tize]

je n'ai pas trop de souçis à ce niveau là. Par exemple, l'égalité
implique car la famille est libre
dans l'espace vectoriel des polynomes sur le corps de base
raisonnement: d'habitude, une combinaison linéaire nulle d'une famille libre entraine que les coefficients sont nuls. Or, içi, aucun coefficient n'est nul, c'est donc que l'ensemble d'indices est vide.

Compris, tout a fait d'accord

[tize]

Bonsoir Mathelot.
Je viens de rentrer du boulo je peux donc enfin reflechir un peu sur mon problème.
Je suis revenu à la relation de recurrence : et je me suis dis (tant pis si c'est ca ne tient pas debout, je verrai à la fin) que je peux très bien etudier cette suite et essayer de l'expliciter : pour cela il suffit de résoudre l'équation : dont les solutions sont : (je sais que ne veut pas dire grand chose mais apres dans la formule ils devraient s'annuler).
On trouve après quelques calculs et en posant :


Je ne pense pas m'être trompé (mais je n'ai vérifier pour l'instant que pour )

[mathelot]

il est impossible de diviser par 2 dans !
Quant à moi,j'essaye de réduire la somme:



qui comporte termes à une somme qui comporterait la moitié de termes soit termes à l'aide des formules de récurrence...

[tize]

il est impossible de diviser par 2 dans !

oui c'est vrai... mais en faite quand on developpe cette formule (formelle), on peut très bien considérer que la relation de recurrence n'est plus dans quitte à prendre le résultat final dans .



les disparaissent. La formule n'a pas de sens c'est vrai mais elle permet bien (il me semble) d'expliciter de façon purement formelle en fonction de n. ( j'ai trouvé grâce à celle ci, je sais bien que ce n'est pas une preuve mais ca peut peut être aider...)

Enfin ...je dis aussi peut être n'importe quoi.
Tenez moi au courant si votre methode donne des fruits.
Merci

[tize]

Ce que je veux dire (je me suis un peu enbrouillé les pinceaux dans mon message precedent) c'est que l'on peu considérer la suite de polynome (qui n'est pas dans avec et definie par la recurrence : avec celle-ci, il n'y a pas de problème pour ma methode et en plus lorsque (pour n donné) on transforme les coefficients de en regardant ceux-ci modulo 2 on trouve justement

[mathelot]

notation:j'écris un vecteur colonne sous la forme (transposé d'un vecteur ligne) pour simplifier la mise en page sous TeX.

En mettant les relations en matrice, et avec ma notation:


où A est la matrice:

A a pour polynome caractéristique ton polynome:
ce polynôme n'est pas scindé sur pour la raison suivante:

conduit au système

qui n'a pas de solution dans .
conclusion: la matrice A n'est pas diagonalisable et il va falloir trouver
sa puissance n-ième "à la main". Faut il étudier les combinaisons
modulo 2 et utiliser la formule du binôme ?. Bonne journée.

[tize]

Avec ma methode : on a : et est égal à 1 ssi est un polynome dont tous les coefficients sont pairs sauf le terme constant. En développant on trouve : si n est impair et
si n est pair
On a alors le coefficient de degré p du polynome :
si n est impair.

sinon

la question est maintenant pour quelles valeurs de a-t-on est pair pour tout >0 ?

Concernant ta methode, je trouve qu'elle est très bien et a mon avis on pourrait même diagonaliser ta matrice a condition d'utiliser la même astuce : poser le tout etant dans par exemple. Là il n'y aura pas de problème pour diagonaliser ta matrice et on s'en sort avec le fait que le morphisme de qui transforme les coefficients en donnant leur classe modulo 2 transforme .

[Yipee]

C'est un bel exercice. J'ai trouvé la solution à l'instant. La méthode consiste à trouver une relation entre et . Pour cela on pose et des polynômes tels que



Je vous laisse vérifier les propriétés que vérifient et et conclure...

[tize]

Bravo yipee !
je vais essayer avec ta methode
Merci

[tize]

Effectivement c'est beaucoup plus simple avec ta methode Yipee ! Encore merci.
Beau travail. Je ne laisse aucune reponse détaillée pour ceux qui aimeraient terminer l'exercice avec ton indication.

[mathelot]

ok, publiez votre solution...

[tize]

Bonjour à tous,
je viens de rédiger une solution rapide de l'exercice au format pdf mais je ne sais pas comment mettre le fichier en ligne. Est-ce possible ? Je ne vois pas de "bouton" pièce jointe ...Comment faire s'il vous plait ?

[tize]

On pose et et on raisonne modulo 2.
On trouve :




et :



On en déduit, grâce à et les relations :



On cherche ensuite pour tout entier des polynômes et tels que :



Pour , on a et et ensuite on en déduit grâce à que et doivent vérifier :
et et
avec les conditions initiales on a :
et .

Donc : ou encore avec :

et grâce à et : et pour finir :

Un très grand merci à Yipee pour la proposition de solution et à Mathelot pour sa participation très active.

[mathelot]

bravo et merçi pour la solution. la réciproque doit être encore plus difficile ?

[Yipee]

Non la réciproque est plus simple (c'est une récurrence).

[tize]

Non la réciproque est plus simple (c'est une récurrence).

Pourrais tu me dire comment tu fais s'il te plait ?
J'ai essayé de montrer que pour tout mais j'ai beaucoup de travail et plus trop la volonté de chercher.

[Yipee]

Il suffit de remarquer - et de démontrer par récurrence - que

[tize]

Effectivement...
avec , on montre facilement par récurrence que :
et si alors (*)
Supposons que (vrai pour ) et alors (d'après ce qu'on a dit précédement) donc et avec (*) et donc et finalement est une puissance de 2.
Merci beaucoup Yipee pour ton aide précieuse.

[tize]

Je reviens sur ce probleme. Je n'ai pas reussi à aboutir avec mon étude de suite mais je suis tombé par hasard cette semaine sur un oral de polytech qui correspond au probleme et eux donne une solution en etudiant la suite:
d'équation caractéristique qui n'a pas de solution dans mais qui en a dans un sur corps, on note les solutions : et . On aurait alors avec les conditions
initiales et en posant pour que la suite soit indexée dans , . D'autre part et (car dans les doubles produits sont nuls). On montre alors très facilement par récurrence que et donc

(On remarquera qu'on ne montre pas la reciproque avec cette methode)