Exercice Trigonalisation/Diagonalisation

[Glo18]

Bonsoir,

J'aurai besoin d'un coup de main pour résoudre un exercice d’algèbre linéaire sur la trigonalisation/diagonalisation

On a la matrice A =
2 m -m
1 2m 1-2m
2 2m 1-2m

1) pour quelles valeurs de m la matrice A n'est pas trigonalisable ?
2) Determiner les valeurs de m pour lesquelles A est trigonalisable mais pas diagonalisable
3) Determiner les valeurs de m pour lesquelles A est diagonalisable

Mon idée de départ etait de calculer le determinant de A-Xi et d'arriver a une expression en fonction de m qui me donnerai une idée sur les valeurs a prendre .. mais malheureusement je suis arrivé a une expression dépourvu de tout m sauf erreur de calcul ..

Quelqu'un pourrai me dire comment je pourrai procéder ?

Merci à vous.

[Ben314]

Salut.
ben... refait tes calculs...
Tu devrait trouver

[Glo18]

Salut.
ben... refait tes calculs...
Tu devrait trouver

Merci ! en effet il semble que je me soit tromper, les expressions était tellement longue que j'ai du oublier quelque chose lors des précédent calculs ><

On remarque que 1 est une racine donc on peut écrire le polynome sous la forme : (x-1) (-x² +2x-m)

le delta nous donne 4(1-m) donc si m = 1 on a une racine double, si m < 1 on a 2 racines et si m > 1 on a pas de racine

Pour la dernière question je dirai qu'il faut que m soit < 1 pour avoir 3 valeurs propre au total ce qui montrerai que A est trigonalisable
pour la 1ere question je dirai qu'il faut que m soit > 1 pour qu'il n'y est pas de solution au polynome de degré 2
pour la 2eme question je dirai qu'il faut que m soit = 1 ainsi on aurai une racine double et une racine normal donc que 2 valeurs propre.

Apres je ne sais pas si cela est suffisant ... je pense qu'il faudrai également vérifier les espaces propre non ? ( mais j'avoue que rien que d'y penser je me perd, cela parai compliquer )

[Ben314]

Concernant le fait que A soit (ou pas) diagonalisable/trigonalisation, ça dépend évidement du corps de base dans lequel on se place, par exemple dans C qui est algébriquement clos, le polynôme caractéristique P est forcément scindé donc toute matrice sans exception est trigonalisable et donc la question n'a pas vraiment d'intérêt.

Je suppose donc que la question est de savoir si A est (ou pas) diagonalisable/trigonalisable sur R (vérifie ton énoncé...)
Dans ce cas, A est trigonalisable ssi le polynôme caractéristique P est scindé sur R et cela équivaut à m>=1 vu le discriminant du polynôme du second degrés.
Pour qu'elle soit diagonalisable, il faut évidement qu'elle soit trigonalisable, donc que m>=1.
Ensuite une condition suffisante (mais pas nécessaire) est que le polynôme caractéristique P n'ait que des racines simples et effectivement, si m=1 ce n'est pas le cas vu que le polynôme du second degrés admet une racine double.
Mais il y a un autre cas où P admet une racine double : si X=1 est racine du polynôme du second degrés alors c'est une racine double de P.
Arrivé à ce point, il te reste deux valeurs de m (m=1 et une autre) pour lesquelles on ne sait pas si A est diagonalisable ou pas (car la condition "à racines simples" n'est pas nécessaire pour être diagonalisable). Pour ces deux cas particulier là, pour conclure, il te faut étudier la dimension du sous espace propre associé à la racine double de P pour voir s'il est de dimension 1 ou 2.

EDIT : en fait, n'ayant fait aucun calculs, ce que je raconte çi dessus n'est pas complètement vrai car ... , et au final, on a pas vraiment besoin de calculer la dimension des espaces propres...

[Glo18]

Concernant le fait que A soit (ou pas) diagonalisable/trigonalisation, ça dépend évidement du corps de base dans lequel on se place, par exemple dans C qui est algébriquement clos, le polynôme caractéristique P est forcément scindé donc toute matrice sans exception est trigonalisable et donc la question n'a pas vraiment d'intérêt.

Je suppose donc que la question est de savoir si A est (ou pas) diagonalisable/trigonalisable sur R (vérifie ton énoncé...)
Dans ce cas, A est trigonalisable ssi le polynôme caractéristique P est scindé sur R et cela équivaut à m>=1 vu le discriminant du polynôme du second degrés.
Pour qu'elle soit diagonalisable, il faut évidement qu'elle soit trigonalisable, donc que m>=1.
Ensuite une condition suffisante (mais pas nécessaire) est que le polynôme caractéristique P n'ait que des racines simples et effectivement, si m=1 ce n'est pas le cas vu que le polynôme du second degrés admet une racine double.
Mais il y a un autre cas où P admet une racine double : si X=1 est racine du polynôme du second degrés alors c'est une racine double de P.
Arrivé à ce point, il te reste deux valeurs de m (m=1 et une autre) pour lesquelles on ne sait pas si A est diagonalisable ou pas (car la condition "à racines simples" n'est pas nécessaire pour être diagonalisable). Pour ces deux cas particulier là, pour conclure, il te faut étudier la dimension du sous espace propre associé à la racine double de P pour voir s'il est de dimension 1 ou 2.

EDIT : en fait, n'ayant fait aucun calculs, ce que je raconte çi dessus n'est pas complètement vrai car ... , et au final, on a pas vraiment besoin de calculer la dimension des espaces propres...

Je vois, merci ^^