Espaces vectoriels L1 Mathématiques

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Science
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Espaces vectoriels L1 Mathématiques

par Science » 01 Déc 2009, 20:49

Bonjour

Aujourd'hui nous avons vu en cours les espaces vectoriels et j'ai quelques difficultés dans ce domaine :
Tout d'abord la notion d'espaces vectoriels m'est très abstraite, pour vous concrètement c'est quoi un espace vectoriel?
Deuxièmement, le prof nous a dit que l'ensemble des suites géométriques n'est pas une espace vectoriel : pouvez-vous me dire pourquoi?

Merci de votre réponse

Cordialement

Science



Nightmare
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par Nightmare » 01 Déc 2009, 21:09

Salut,

un espace vectoriel c'est un espace de vecteurs :lol3: Avec ces vecteurs, on peut faire la même chose que dans un groupe : Il y a un élément neutre (le vecteur nul), on peut additionner les vecteurs et on peut prendre leur opposé etc.. Seulement, en plus d'action interne, dans un espace vectoriel on peut multiplier les vecteurs par des éléments externes, qu'on appelle les scalaires.
Lorsqu'on parle donc d'espace vectoriel, on a besoin de prendre ces scalaires dans un corps. Ainsi, lorsque ces scalaires sont les nombres réels, on parlera d'espace vectoriel sur R (ou de R espace vectoriel) par exemple.

Un exemple simple est le plan complexe C (ou R², comme tu veux). Tu sais qu'un complexe peut être représenté par un vecteur dont les coordonnées sont les parties réelles et imaginaires du vecteur. Ces vecteurs, on peut les additionner entre eux (les coordonnées seront alors les sommes des parties réelles et imaginaires des deux vecteurs) et les multiplier par un nombre réel. C (ou R² encore une fois) est un R-espace vectoriel.

Bref, on peut combiner ces opérations en disant qu'un espace vectoriel, c'est un espace dans lequel on peut faire des combinaisons linéaires, c'est à dire qu'étant donné deux vecteurs u et v dans notre espace et deux scalaire a et b dans le corps de base, dans notre espace il est loisible d'effectuer l'opération au+bv qui donne un nouveau vecteur, qui est toujours dans notre espace.

Peux-tu dire alors pourquoi l'ensemble des suites géométriques n'est pas un espace vectoriel?

Science
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par Science » 01 Déc 2009, 21:37

Merci de ta réponse Nightmare (je n'ai pas encore vu les groupes).

je pense que l'ensemble des suites géométriques n'est pas un espace vectoriel parce que si on multiplie une suite géométrique par un scalaire on obtient pas forcément une suite géométrique, j'ai bon ou pas?

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Ben314
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par Ben314 » 01 Déc 2009, 21:46

heuuuuu,
Pas tout à fait, vu que justement, comme une suite géométrique est de la forme n->a.q^n, si on multiplie par une constante, ca reste une suite géométrique.
Par contree, ce qui ne marche pas c'est pour la somme...
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Nightmare
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par Nightmare » 01 Déc 2009, 21:49

Hum, non pas vraiment... Si on multiplie une suite géométrie par un nombre réel on obtient toujours une suite géométrique !

Nightmare
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par Nightmare » 01 Déc 2009, 21:50

Oups j'aurais dû rafraichir.

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Ben314
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par Ben314 » 01 Déc 2009, 21:54

Sinon, pour "causer plus simple" que nightmare, les bons "exemples" d'espace vectoriels, c'est évidement R^2 ou R^3 (les "vecteurs" vu dans le secondaire) ou... les ingrédients dans une recette de cuisine :
Si je note A=(3,2,1,50,0) pour dire que, pour la recette de cuisine A, il faut 3dl d'eau, 2 cuillérée d'huile, 1 pincée de sel, 50g de farine et 0g de sucre (par personnes)
Si maintenant j'ai B=(1,3,0,0,20) pour dire que, pour la recette de cuisine B, il faut 1dl d'eau, 3 cuillérée d'huile, 0 pincée de sel, 0g de farine et 20g de sucre (toujours par personnes)

Combien d'ingrédients de chaque type vais-je utiliser pour faire la recette A pour 15 personnes et la B pour 17 personnes.

Je me suis fait C.... à taper tout ça juste pour montrer qu'un E.V. de dimension 5 on pouvait en rencontrer dans "la vie de tout les jours"...
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par Science » 01 Déc 2009, 22:00

Ben314 a écrit:Sinon, pour "causer plus simple" que nightmare, les bons "exemples" d'espace vectoriels, c'est évidement R^2 ou R^3 (les "vecteurs" vu dans le secondaire) ou... les ingrédients dans une recette de cuisine :
Si je note A=(3,2,1,50,0) pour dire que, pour la recette de cuisine A, il faut 3dl d'eau, 2 cuillérée d'huile, 1 pincée de sel, 50g de farine et 0g de sucre (par personnes)
Si maintenant j'ai B=(1,3,0,0,20) pour dire que, pour la recette de cuisine B, il faut 1dl d'eau, 3 cuillérée d'huile, 0 pincée de sel, 0g de farine et 20g de sucre (toujours par personnes)

Combien d'ingrédients de chaque type vais-je utiliser pour faire la recette A pour 15 personnes et la B pour 17 personnes.

Je me suis fait C.... à taper tout ça juste pour montrer qu'un E.V. de dimension 5 on pouvait en rencontrer dans "la vie de tout les jours"...


:we: Pas mal les exemples Ben, merci.

En fait dans notre cours, pour illustrer le fait que l'ensemble des suites géométriques ne forme pas un espace vectoriel le prof nous a donné le contre exemple suivant
soit v(vecteur)=(1,1,1,...,1,...,1) c'est une suite géométrique de raison 1 et de terme initial 1.

Si on multiplie par 2 on obtient :
2v=(2,2,2,...,2,..,)

Que pensez-vous de cet exemple?

Nightmare
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par Nightmare » 01 Déc 2009, 22:01

Ben c'est une suite géométrie de raison 1 et de terme initial 2...

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par Ben314 » 01 Déc 2009, 22:02

Je pense toujour tout pareil que nightmare (mais moins vite...)
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par Science » 01 Déc 2009, 22:04

Ben314 a écrit:Je pense toujour tout pareil que nightmare (mais moins vite...)



Bon alors y'a un problème le prof m' a donné un mauvais contre-exemple

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par Ben314 » 01 Déc 2009, 22:08

Tout à fait : il faut prendre deux suites géométrique non nulles et de raison différentes pour que la somme ne soit pas géométrique

OU BIEN

Prendre comme définition des suites géométriques que c'est uniquement les n->q^n (mais c'est trés con...)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

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par Science » 01 Déc 2009, 22:15

Ben314 a écrit:Tout à fait : il faut prendre deux suites géométrique non nulles et de raison différentes pour que la somme ne soit pas géométrique

OU BIEN

Prendre comme définition des suites géométriques que c'est uniquement les n->q^n (mais c'est trés con...)


J'ai d'autres questions si vous me le permettez si un espace vectoriel c'est un espace de vecteurs alors au fond que vienne y faire là dedans les polynômes, les fonctions , et tout ca?

Désolé la notion d'espace vectoriel est toute nouvelle pour moi

Nightmare
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par Nightmare » 01 Déc 2009, 22:44

les polynômes et les fonctions peuvent être vus comme des vecteurs :happy3:

Pour faire l'analogie avec l'espace, prenons les polynômes de degré 2. Il est entièrement déterminé par ses 3 coefficients, qui sont en quelque sorte ses coordonnées. Par exemple le polynôme X²+X+1 peut être vu comme un vecteur de coordonnées (1,1,1). Et comme pour les vecteurs de l'espace, on peut faire les même opérations avec les polynômes.

C'est un peu pareil avec les fonctions, par exemple on prend les fonctions de dans R continues (disons sur [0,1]). C'est un R-espace vectoriel (seulement ici, il nous faudrait un système avec une infinité de coordonnées pour "repérer" les fonctions continues)

Science
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par Science » 01 Déc 2009, 22:47

Nightmare a écrit:les polynômes et les fonctions peuvent être vus comme des vecteurs :happy3:

Pour faire l'analogie avec l'espace, prenons les polynômes de degré 2. Il est entièrement déterminé par ses 3 coefficients, qui sont en quelque sorte ses coordonnées. Par exemple le polynôme X²+X+1 peut être vu comme un vecteur de coordonnées (1,1,1). Et comme pour les vecteurs de l'espace, on peut faire les même opérations avec les polynômes.

C'est un peu pareil avec les fonctions, par exemple on prend les fonctions de dans R continues (disons sur [0,1]). C'est un R-espace vectoriel (seulement ici, il nous faudrait un système avec une infinité de coordonnées pour "repérer" les fonctions continues)



D'accord je comprends mieux maintenant!

Merci à vous 2, je comprends pourquoi les espaces vectoriels sont si utiles en maths

 

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