Somme d'espaces vectoriels

[mehdi-128]

Bonjour,

Je viens de me rendre compte que j'ai des grosses lacunes sur les sommes d'espaces vectoriels.

Je comprends pas trop pourquoi si F et G sont deux sous espaces vectoriel d'un K espace vectoriel E alors :

Pourquoi F+G est le plus sous espace contenant F et G ?

Exemple : Soient F et G deux droites vectorielles de l'espace.
Décrire et

Merci.

[mehdi-128]

J'arrive pas à comprendre le

Pourquoi on dit que en général n'est pas un espace vectoriel alors que oui

[Pseuda]

Bonjour,

Prends F et G deux droites vectorielles distinctes, x un vecteur de F, y un vecteur de G, tous deux non nuls.

x et y sont des vecteurs de F U G, mais pas x+y.

[mehdi-128]

Merci pseudo donc la stabilité n'est pas vérifiée.

Mais j'arrive pas à voir la différence entre et ...

* F union G : un vecteur x appartenant à cet ensemble appartient soit à F soit à G
* Vect ( F union G) : je comprends pas c'est quoi

[Pseuda]

Il suffit de revenir aux définitions. Vect(F U G) est le ss-ev généré par FUG, cad l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs pris dans F et/ou G, et F+G aussi. Il n'y a pas de différence entre F+G et Vect(F+G) (l'ensemble des c.l. de vecteurs de F+G).

On a donc Vect (F U G)= Vect (F+G)=F+G.

[mehdi-128]

J'arrive pas à comprendre pourquoi :

Si je prends F=vect(1,0) et G=Vect(0,1) dans R^2

L'union de F avec G donne les 2 axes abscisses et ordonnée. Mais la somme de deux vecteurs de F et G n'appartient pas aux axes donc ?

[Ben314]

Salut,
Ça fait au moins deux fois que pseuda te dit que FuG n'est pas égal à F+G.
Les ensemble qui sont égaux, c'est vect{FuG} = vect{F+G} = F+G.
Dit en Français, les ensembles FuG et F+G ne sont pas égaux, mais ils engendrent le même sous espace vectoriel (sachant que le s.e.v. qu'engendre F+G, ben c'est lui même vu que c'est déjà un s.e.v. contrairement à FuG qui n'en est en général pas un).

[mehdi-128]

D'accord mais j'arrive pas à voir la différence entre : et

Vous avez pas un exemple concret ?

[Ben314]

Dans le plan, si tu prend deux droites vectorielles F et G différentes, FuG, ben c'est la réunion des deux droites et F+G, c'est le plan tout entier (tout vecteur du plan peut évidement s'écrire comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G : c'est la base même de la notion de repère qu'on voit dés e collège)

[mehdi-128]

Exemple je prends : dans la base canonique :

et

donc

Mais comment écrire en fonction de e1 et e2 ?
Je veux déterminer en partant de .

[Ben314]

Bon, ben soyont franc : c'est du n'importe quoi complet et absolu du début à la fin...
- Déjà, rien que , c'est stupide : F est sensé être un ensemble de vecteur alors que c'est un vecteur donc il ne risque pas d'y avoir égalité entre les deux. A la limite, on peut considérer que c'est un raccourci d'écriture (très mal venu...) pour écrire que F est l'ensemble constitué de l'unique vecteur ce qui s'écrirait .
- Ensuite, en supposant qu'effectivement c'est que tu as voulu écrire, ben c'est absolument pas du tout un sous espace vectoriel. Le mini du mini à vérifier pour qu'un ensemble F soit un s.e.v. c'est que F contienne le vecteur nul or ton F à toi il contient un unique vecteur... non nul...
- Le F+G n'est évidement pas égal à : de nouveau l'un des deux est un ensemble de vecteur et l'autre un vecteur donc ton égalité est du même type que "La longueur de truc = 3 heures"
- Ensuite, idem, Vect(1,1), c'est pas trop cohérent non plus vu que lorsque l'on parle d'espace vectoriel engendré, c'est par un ensemble de vecteurs et pas par un vecteur, donc ce qu'il faut écrire c'est un truc du style vect{(1,1)} (l'espace vectoriel engendré par l'ensemble constitué de l'unique vecteur (1,1)). Pour ce cas là, à la rigueur, on peut accepter le "raccourci d'écriture" consistant à écrire Vect(1,1) au lieu de vect{(1,1)}.
- Enfin, vect{(1,1)}, c'est un ensemble de vecteurs et pas un vecteur donc c'est surement pas égal à (1,1). Et si on considère que ce que tu as voulu dire c'est que vect{(1,1)} = {(1,1)} alors c'est complètement faux : vect{(1,1)} c'est l'ensemble de tout les multiples du vecteur (1,1) donc c'est un ensemble contenant une infinité de vecteurs (à savoir tout ceux de la forme (x,x)) et surement pas l'unique vecteur (1,1).

Bref, à mon avis, avant d'attaque l'algèbre linéaire, je pense que ça serait pas con que tu aille réviser les notation mathématique concernant ce qu'est un ensemble (description en extension, description en compréhension, réunion d'ensembles, intersection , etc etc) parce que là, ça donne quand même l'impression que ce que tu comprend pas, c'est la façon dont on décrit les ensembles (en particulier infinis) en math (et bien évidement, il faut peut être comprendre qu'une droite vectorielle, c'est un ensemble infini de vecteurs exactement de la même façon qu'une droite affine (=usuelle), c'est un ensemble infini de points)

[mehdi-128]

D'accord, merci Ben c'est super clair.

Je vais réviser mon cours sur les ensemble avant de commencer l'algèbre linéaire.

[mehdi-128]

Auriez vous un exemple simple où je pourrais essayer déterminer : et ?

[Pseuda]

Bonjour,

A mon avis, ce que tu ne comprends pas aussi, c'est la notion de Vect (A) où A est une partie de E e-v. Il faudrait aussi commencer par là.

Vect A est le sous-espace vectoriel GENERE par les éléments de A = l'ensemble des combinaisons linéaires des éléments de A. Donc il faudrait aussi que tu comprennes cette notion de "généré par".

[Pseuda]

FUG c'est tout bêtement l'union des 2 droites (il y a un vide entre les 2 droites et autour). Vect(FUG) c'est plus que ça, c'est l'e-v généré par les vecteurs de F et de G (c'est tout le plan).

[mehdi-128]

Justement je comprends pas pourquoi les combinaisons linéaire de l'union de 2 droites est égale à tout le plan.

C'est quoi par exemple : un nombre multiplié par l'union de 2 droites ?

[Ben314]

A mon avis, il faudrait aussi (surtout...) comprendre le sens des mots histoire de faire des phrases qui veulent réellement dire quelque chose (*).
Le terme "combinaison linéaire", il s'emploie avec derrière des vecteurs : "une combinaison linéaire de U, V et W", c'est un vecteur du style 3U-5V+W ou 4U-7V+12W ou n'importe quoi du même style.
Donc de nouveau, "les combinaison linéaires de de l'union de deux droites", ben ça veut rien dire et c'est à remplacer par "les combinaisons linéaires de vecteurs appartenant à l'union de deux droites.

Et si tu prend par exemple comme première droite D1 celle engendrée par le premier vecteur e1 de la base canonique, c'est à dire que ta droite D1, c'est l'ensemble des multiples de e1 et que D2 c'est celle engendrée par le deuxième vecteur de la base e2 alors :

- La réunion D1uD2 de D1 et D2, c'est tout les vecteurs de R² qui sont multiple de e1 ou bien multiple de e2. Par exemple 3.e1 ; -5.e2 et le vecteur nul sont dans D1uD2. Par contre e1+e2 n'est pas dans D1uD2.

- La somme D1+D2 des s.e.v. D1 et D2 c'est l'ensemble des vecteurs de R² qui peuvent s'écrire comme somme d'un vecteur de D1 et d'un vecteur de D2. Et comme les vecteurs de D1, c'est tout les x.e1 (avec x dans R) et que ceux de D2 c'est tout les y.e2 (avec y dans R), c'est que les vecteurs de D1+D2, c'est tout ceux de la forme x.e1+y.e2 (avec x,y dans R) donc c'est tout les vecteurs de R² : D1+D2=R².

- L'espace vectoriel vect(D1uD2) engendré par l'ensemble D1uD2, c'est le plus petit s.e.v. contenant D1uD2 et c'est aussi (théorème) l'ensemble des vecteurs de R² qui peuvent s'écrire comme combinaison linéaire de vecteurs de D1uD2. En particulier, comme e1 et e2 sont tout les deux dans D1uD2, tout les vecteurs qui sont combinaison linéaire de e1 et e2 sont dans vect(D1uD2). Or comme tout vecteur de R² est combinaison linéaire de e1 et e2, ça prouve que R² est contenu dans vect(D1uD2). Et comme l'autre inclusion est immédiate (par définition), c'est que vect(D1uD2)=R².

(*) Quand on a parfaitement compris un domaine et qu'on sait que celui à qui on s'adresse a lui aussi parfaitement compris le domaine en question, on peut se permettre des "raccourcis d'écriture" (ou de diction) pour gagner du temps, mais quand on débute, surement pas : il faut absolument TOUT écrire correctement.

[mehdi-128]

Merci ça éclaircit les choses mais pourquoi vous prenez D1 et D2 forcément des sous espaces vectoriels Vec(e1) et Vect(e2) ?

Ensuite :

.En particulier, comme e1 et e2 sont tout les deux dans D1uD2, tout les vecteurs qui sont combinaison linéaire de e1 et e2 sont dans vect(D1uD2).

Vous utilisez ça ?

La fin j'ai pas compris d'où ça sort :
Or comme tout vecteur de R² est combinaison linéaire de e1 et e2, ça prouve que R² est contenu dans vect(D1uD2). Et comme l'autre inclusion est immédiate (par définition), c'est que vect(D1uD2)=R².

J'ai un vecteur x de R^2 : Pourquoi ça appartient à

Pourquoi :

[Ben314]

Je prend pour D1 et D2 des s.e.v. parce que l'objectif est de comprendre le résultat qui dit : "Si D1 et D2 sont des s.e.v. alors D1+D2 et D1nD2 sont aussi des s.e.v. mais D1uD2 n'en est généralement pas un".
Et, je sais pas toi, mais moi, quand on me demande de comprendre ou de commenter un résultat qui dirait que "Si on prend une voiture alors elle a 4 roues", ben je suis pas sûr que ce soit super pertinent de commencer par regarder si un kangourou (= autre chose qu'une voiture) possède 4 roues ou pas....

Et concernant ça :
En particulier, comme e1 et e2 sont tout les deux dans D1uD2, tout les vecteurs qui sont combinaison linéaire de e1 et e2 sont dans vect(D1uD2).
Ben j'utilise absolument rien du tout à part la définition de "vect" (*) et bien sûr celle de "union" :
- e1 est dans D1 donc il est dans D1uD2 (définition de la réunion)
- e2 est dans D2 donc il est dans D1uD2 (définition de la réunion)
- e1 et e2 sont dans D1uD2 donc toute combinaison linéaire x.e1+y.e2 (x,y dans R) est dans vect(D1uD2) (définition de "vect")

(*) A savoir : Si A est une ensemble quelconque contenu dans un e.v. E alors vect(A) c'est l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de A, c'est à dire tout vecteur u qui peut s'écrire (d'au moins une façon) sous la forme u=x1.a1+x2.a2+...+xn.an avec n dans N, les xi dans R et les ai dans A.

[mehdi-128]

Merci c'est clair

Juste une petite précision vous dites :
" e1 et e2 sont dans D1uD2 donc toute combinaison linéaire x.e1+y.e2 (x,y dans R) est dans vect(D1uD2) (définition de "vect")"

Vous avez écrit inclus. On peut pas dire que cette combinaison linéaire est exactement égale à vect(D1uD2) ?