Variété, espaces tangent, orientation, espaces vectoriels

[citelis59]

Bonjour

Je suis en M1 et j'ai du mal à démarrer mon devoir maison ayant pour thème l'application de Gauss

Je bloque directement à la question 1 je ne vois pas comment m'y prendre :
Par analyse synthèse j'essaie de trouver ce x chapeau que l'on cherche

En notant A la matrice de passage de la base canonique dans Rn à la base V = (v1,...,vn)
par énoncé on a que V est directe donc det(A) est positif
En supposant l'existence de x chapeau (j'essaie de faire par analyse synthèse, histoire de mettre des mots sur ce que je veux faire), notons B la matrice de passage de la base canonique dans Rn+1 à la baise (v1,....,vn,x chapeau)
j'ai la relation det(B) = (La n+1ème coordonnée de x chapeau dans la base can de Rn+1) * det(A) (développement par rapport à la dernière ligne)
Donc on dégage une première condition sur cette coordonnée, c'est qu'elle est strictement positive (c'est déjà ça de pris !)
Ensuite je n'arrive pas à utiliser les informations suivantes pour trouver x chapeau explicitement :
- x chapeau orthogonal à l'espace tangent
- x chapeau de norme 1

j'ai pensé :
- des histoires de gram shmidt, cependant à l'arrivée on obtiendra une base totalement différente de V union x chapeau
- essaie de relier ça à des théorèmes d'existences que je connais mais j'ai vite éliminé cette idée car :
vu la question d'après, je pense qu'il est préférable d'avoir une expression explicite de x chapeau
je ne vois tout simplement par quel théorème je pourrais utiliser

j'ai le sentiment de passer à côté de quelque chose,

Merci d'avance pour votre aide

[GaBuZoMeu]

Si tu veux une expression explicite de , il faut savoir comment tu te donnes .
Tu peux par exemple te donner au voisinage de par une paramétrisation locale définie sur un voisinage ouvert de l'origine dans , avec , et envoyant l'orientation canonique de sur l'orientation de .
Alors s'exprime assez simplement à partir de la matrice jacobienne de à l'origine. Il suffit de normaliser le vecteur dont la -ème composante est fois le déterminant obtenu en supprimant la -ème ligne de la matrice jacobienne.
Je te laisse réfléchir à ça ; tu peux t'appuyer sur le cas , en utilisant le produit vectoriel dans .

[citelis59]

Désolé de répondre aussi tard,
Juste pour être plus en accord avec mon cours quand je vais relire, j'ai préféré prendre une paramétrisation par redressement de la sous-variété M, bon enfin de ce que j'ai pu voir avec vos notations et les miennes on a que phi-1 = f rien de dramatique



Je n'ai pas très bien compris ce que vous entendez par "Il suffit de normaliser le vecteur dont la -ème composante est fois le déterminant obtenu en supprimant la -ème ligne de la matrice jacobienne."
Peut on récupérer chacune des coordonnées de x chapeau avec l'expression écrite en bas de la première page, quitte à développer différemment les déterminants et/ou échanger des lignes ? (Edit : non, en plus si ça l'était P dépend lui même de x donc bof pour conclure quoi que ce soit)

[GaBuZoMeu]

Non, ce n'est pas exactement que ton est égal à mon (en passant, tu as déjà un ans ton énoncé, il vaut mieux ne pas réemployer la même lettre pour autre chose). Ton est un difféomorphisme d'un ouvert de sur un ouvert de , mon est la restriction de ce difféomorphisme à (identifié à ) et envoie un voisinage ouvert de l'origine dans sur un voisinage ouvert de dans .
Je t'ai conseillé de regarder ce qui se passe quand est une surface dans . Soit une paramétrisation locale de préservant l'orientation. Je note et les vecteurs dérivées partielles, c.-à-d. les colonnes de la matrice jacobienne de . Ces vecteurs forment une base directe du plan tangent à . Soit le produit vectoriel ; le vecteur est orthogonal au plan tangent à , et la base est directe. Donc le vecteur unitaire normal de bon sens est , le produit vectoriel normalisé.
Je te rappelle comment on calcule le produit vectoriel des colonnes de la matrice jacobienne : sa -ème composante est fois (je m'étais trompé de signe dans mon dernier message) le déterminant obtenu en supprimant la -ème ligne de la matrice jacobienne.
Ceci, c'était pour le cas . J'espère que tu es suffisamment familier avec le produit vectoriel pour que ça puisse t'éclairer. Et ça se généralise sans problème pour quelconque.

[citelis59]

Il faut que je revois le produit vectoriel au préalable alors, je n’ai jamais vu ça dans un cours de mathématiques ni dans celui ni dans aucun autre.

Merci.

[GaBuZoMeu]

Je trouve vraiment dommage que tu arrives en M1 sans avoir jamais vu ce qu'est le produit vectoriel. Ce n'est pas de ta faute, c'est celle de la façon dont sont conçus les programmes et de l'abandon de la géométrie.
Peut-être as-tu tout de même vu le produit vectoriel dans un cours de mécanique ou d'électromagnétisme ?
En tout cas, je pensais t'éclairer avec le cas d'une surface, eh bien c'est raté !
En tout cas, je répète la propriété fondamentale ici. Soit une matrice réelle à lignes et colonnes (les ), de rang . Soit la matrice obtenue en supprimant la -ème ligne de . Alors le vecteur dont la -ème composante est est orthogonal à tous les et . (Conséquences faciles du développement du déterminant suivant une colonne et des propriétés des cofacteurs).

[citelis59]

Je trouve ça dommage également
Le produit vectoriel m’aurait donné une meilleure vision du problème je pense bien

En tout cas, maintenant j’ai compris et je vois comment rédiger cette question.
Je vous remercie de votre aide ainsi que de votre patience !

[GaBuZoMeu]

Avec plaisir.