Exercices espaces vectoriels

par **houda 20** » 29 Nov 2009, 18:34

A*X=x1*(a11,a21,...,am1)+.........+xn*(a1n,......,amn)
= x1*le premier vecteur colonne+........+xn*le dernier vecteur colonne

par **jklmmlkj** » 29 Nov 2009, 18:36

Salut, le a) j'ai compris mais le b) je me retrouve avec A(m x n) et X(1 x n) mais c'est impossible de les multiplier dans ce cas... Il faut bien mettre A sous forme de vecteurs lignes?
Merci.

par **houda 20** » 29 Nov 2009, 18:36

A*X est un elt quelconque de imA ? il s'écrit comme combinaison linéaire des vecteurs colonnes de A donc
imA est bien engendré par les vecteurs colonnes de A

par **Ben314** » 29 Nov 2009, 18:41

Pour Houda20 (i.e. pour la question a))
Tu as parfaitement raison concernant le fait qu'il faut vérifier que Im(A) est un s.e.v.
Mais il n'est pas utile de faire un "calcul spécifique" : ce que tu as écrit ( et
jklmmlkj aussi) montre que Im(A) est l'ensemble des combinaisons linéaires de différents vecteurs et le cours dit que, dans ces conditions, c'est forcément un s.e.v.

par **houda 20** » 29 Nov 2009, 18:43

jklmmlkj a écrit:Salut, le a) j'ai compris mais le b) je me retrouve avec A(m x n) et X(1 x n) mais c'est impossible de les multiplier dans ce cas... Il faut bien mettre A sous forme de vecteurs lignes?
Merci.

b. Montrer que KerA est sev de \mathbb{R}^n, constitué des vecteurs X\in\mathbb{R}^n orthogonaux aux vecteurs lignes de A.

NON; POURQUI TU DIS CA
POUR MULTUPLIER DEUX MATRICES IL FAUT QU LE NBRE DE colonnes DE LE PREMIèRE soit égale au nbre de lingnes de la deuxième
il n y a aucun pb là tu n colonnes de le première et n lignes pour l adeuxième
x =n*1 et non pas 1*n

par **houda 20** » 29 Nov 2009, 18:44

Ben314 a écrit:Pour Houda20 (i.e. pour la question a))
Tu as parfaitement raison concernant le fait qu'il faut vérifier que Im(A) est un s.e.v.
Mais il n'est pas utile de faire un "calcul spécifique" : ce que tu as écrit ( et
jklmmlkj aussi) montre que Im(A) est l'ensemble des combinaisons linéaires de différents vecteurs et le cours dit que, dans ces conditions, c'est forcément un s.e.v.

voilà la question ben 314
a. Montrer que ImA est un sev de \mathbb{R}^m et qu'il est engendré par les vecteurs colonnes de A.

par **jklmmlkj** » 29 Nov 2009, 18:47

Le problème est que si j'ai X = n x 1, j'aurai AX R^m et non R^n.

par **Ben314** » 29 Nov 2009, 19:04

Pour Houda20 : O.K. , mais personne ne t'interdit de répondre aux deux questions en même temps.

Pour jklmmlkj : Effectivement, AX est dan R^m et cela signifie que dans la définition

t.q.

, le "0" de la fin désigne le vecteur nul de R^m et pas celui de R^n.

par **jklmmlkj** » 29 Nov 2009, 19:08

Ouais mais pourtant il faut montrer que ca appartient à R^n...

par **Ben314** » 29 Nov 2009, 19:17

Lorsque l'on écrit:

t.q.

Il n'y a pas à montrer que ker(A) est dans R^n, c'est déjà écrit dans la définition. En français :
"Ker(A) est l'ensemble des vecteurs X de R^n tels que AX=0"

Ce qu'il faut montrer c'est que
1) c'est un s.e.v. (on peut sans doute le montrer en même temps qu le 2)
2) qu'un vecteur X est dans ker(A) ssi il est orthogonal à tout les vecteurs lignes de A.

Comme le a) c'est "tout con-con" : il suffit d'écrire ce que veut dire AX=0 en donnant des noms au lignes de A et aux nombres composant X....

par **jklmmlkj** » 29 Nov 2009, 19:29

Ah oui c'est bon, j'avais fait un petite erreur bizarre^^Merci.

par **houda 20** » 29 Nov 2009, 20:07

c'est bon pour les dimensions????
quand x appartient à R^n on l'écrit verticalement. le vecteur s'écrit tjrs de cette manière. c'est son transposé qui s'écrit comme ligne. fait attention
déjà bcp de gens font cette erreur

pour le 2)
voilà
je suppose que démontrer que le KER est un sev est facile
pour la deuxième regarde bien l'écriture du vecteur A*X
X est dans le ker ca donne que A*X=0
d'ou toutes ses composantes sont nulles ce qui va donner
0= a11*x1+a12*x2+........+a1n*xn

0=am1*x1+am2*x2+.......+amn*xn

et voila la première ligne est bien le produit de de X et le première linge de la matrice A,.........ETC

L'INVERSE est évident

par **houda 20** » 29 Nov 2009, 20:10

mais je pense que ce n'est pas demandé de démontrer l'inverse puisque c'est ca la question
Montrer que KerA est sev de \mathbb{R}^n, constitué des vecteurs X\in\mathbb{R}^n orthogonaux aux vecteurs lignes de A.

par **houda 20** » 29 Nov 2009, 20:11

ben314
je n'ai pas bien saisi que ce que tu voulais me dire
'démontrer les deux au meme temps"

par **houda 20** » 29 Nov 2009, 20:13

laissons c et d a part maintenant
passons à e car c'est facile. gardes les réponses maintenant pour que tu ne t'égares pas après, d'accord

par **houda 20** » 29 Nov 2009, 20:14

voilà pour le e
Si AX différent de 0 => A²X différent de 0
ca est équivalent à
A²X = 0 => AX = 0 par contraposée

par **houda 20** » 29 Nov 2009, 20:17

X appartient à imA i.e qu'il existe unX1 tel que A*X1=X
X est dans kerA i.e A*X=0

A*X=A*A*X1=0 ce qui donne que A*X1=0 d'après la supposition

par **houda 20** » 29 Nov 2009, 20:37

or A*X1=X=0
donc l'intersection de ImA et KerA est inclut dans
{0}il est évident que 0 est inclut dans l'intersection
d'ou l'égalité.

je ne pense pas que l'inverse est facile........

est ce que vous avez avancé dans le c et d

par **jklmmlkj** » 29 Nov 2009, 20:47

Merci houda 20, je n'ai pas encore avancé dans le c) et d). Mais pour le e), je ne comprend pas le rapport avec A²...

par **Ben314** » 29 Nov 2009, 20:48

Salut,
j'ai pas lu tout vos posts....
Mais je comprend pas trés bien l'énoncé du e) :
Sans hypothèses particulières sur la matrice A,

est faux.

jklmmlkj, est tu sur de ton énoncé ?
Est ce que cette proposition ne soit pas une HYPOTHESE, c'est à dire que l'on suppose que la matrice A a cette propriété ?

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