Exercices espaces vectoriels

[jklmmlkj]

Bonjour tout le monde, j'ai un exercice sur les espaces vectoriels mais j'ai un peu de mal avec cette leçon et donc avec l'exercice. Voici l'énoncé:

"Soient des vecteurs de de coordonnées respectives (0,1,-2,1),(1,0,2,-1),(3,2,2,-1),(0,0,1,0),(0,0,0,1) dans la base canonique. Les propositions suivantes sont-elles vrais ou fausses? Justifier votre réponses.

1. Vect{} = Vect{(1,1,0,0),(-1,1,-4,2)}.
2. (1,1,0,0) Vect{} Vect{}.
3. dim(Vect{} Vect{}) = 1.
4. Vect{} + Vect{} = .
5. Vect{} est un sous-espace vectoriel supplémentaire de Vect{} dans ."

Pour la première par exemple, est ce qu'il faut mettre les vect sous la forme est ensuite résoudre le système d'équation?

Merci de vos réponses!

[girdav]

Salut.
Pour le 1, tu peux regarder si , et sont dans le "Vect" de droite.

[jklmmlkj]

C'est à dire? Je n'ai pas trop compris désolé.
Merci.

[Ben314]

Pour montrer que e_1 est dans Vect{(1,1,0,0),(-1,1,-4,2)} il faut (PAR DEFINITION DU "Vect") montrer que e_1 peut s'écrire comme combinaison linéaire des vecteurs (1,1,0,0) et (-1,1,-4,2) c'est que e_1= ? . (1,1,0,0) + ?. (-1,1,-4,2) où les deux ? sont des réels.

P.S. Si ton cours d'algèbre linéaire est sufisement avancé pour que le mot "dimension" évoque quelque chose pour toi, il y a des méthodes trés trés rapides pour le a)

P.S.2 Pour le a) il serait aussi plus rapide de regarder si le vecteur (-1,1,-4,2) est dans le "vect" de gauche...

[jklmmlkj]

Merci, mais pourquoi montrer que le vecteur (-1,1,-4,2) est dans le "vect" de gauche, il faut montrer que (1,1,0,0) l'est aussi non?
Merci.

[jklmmlkj]

J'ai trouvé la proposition 4 vrai, j'ai fait :

(1,1,0,0) = a(e_1) + b(e_2) = c(e_2) + d(e_3) + e(e_4)

J'ai mis en système d'équations est j'ai trouvé les solutions donc ca veut bien dire que la proposition 2 est juste?

Pour la 4, j'ai calculé le déterminant de la matrice (e_1,e_2,e_2,e_3,e_4) et j'ai trouvé qu'il était égal à 0, donc la matrice n'est pas inversible et il n'y a pas de solution. Donc la proposition 4 est fausse.

Est ce que c'est juste?
Merci.

[Ben314]

Il existe des réels a et b tels que (1,1,0,0) = a(e_1) + b(e_2)

Juste

Il existe des réels c,d et e tels que (1,1,0,0) = = c(e_2) + d(e_3) + e(e_4)

Faux, mais, si s'était vrai, cela prouverais effectivement que le 2) est vrai.
Je suis assez curieux de voir quels calculs tu as fait pour aboutir à ce résultat....

le déterminant de la matrice (e_1,e_2,e_2,e_3,e_4) est égal à 0

Incohérent (5 vecteurs en dimension 4...)

[jklmmlkj]

Ok merci. Je ne comprend vraiment rien à ce chapitre :(

[Ben314]

TU FINIRA PAR Y ARRIVER,...

Si tu veux, comprendre pourquoi je voudrait voir ta solution, c'est parce que, vu que e_2=(0,1,0,0) ; e_3=(0,0,1,0) et e_4=(0,0,0,1)
le système (1,1,0,0) = = c(e_2) + d(e_3) + e(e_4)
revient à écrire :
1=0
1=c
0=d
0=e
et je suis effectivement curieux de savoir comment tu t'y est pris pour trouver une solution.
Je peux te GARANTIR que mon post précédent contenait certe une pointe d'humour mais aucune méchanceté.

Dit moi ce que tu ne comprend pas et je te promet que je te t'expliquerais du mieux que je le peut.

[jklmmlkj]

Merci, c'est gentil!
Sinon, j'ai trouvé comme solution a=b=1, c=-1/2, d=1/2, e=0.

Mon gros problème dans ce chapitre, c'est que j'ai du mal à m'imaginer et à me représenter dans l'espace comment ca se passe... Du coup, pour faire les exos, ca devient compliqué :S

[jklmmlkj]

Bref, je ne sais jamais quelle méthode il faut utiliser...

[Ben314]

Bon, pour le 1) il y a des tas de méthode (voir tout les mails au dessus...)
En regardant le 3) j'en déduit que tu as du voir ce qu'est la dimension d'un espace vectoriel.

Dans ce cas, la méthode la plus simple est :
Que peut tu me dire de la dimension du s.e.v. Vect{e_1,e_2,e_3} ?
Et du s.e.v. Vect{(1,1,0,0),(-1,1,-4,2)} ?

Pour le 2), la "traduction" de l'énoncé est :
Peut on écrire le vecteur (1,1,0,0) à l'aide des vecteurs e_1,e_2 ET AUSSI à l'aide des vecteurs e_2,e_3,e_4 ?

Pour le 3) il faut se demander : "quels sont les vecteurs qui peuvent s'écrire avec e_1,e_2 ET AUSSI avec e_2,e_3,e_4 ?"
.
.
.
Un petit rappel : e_1=(1,0,0,0) ; e_2=(0,1,0,0) ; e_3=(0,0,1,0) ; e_4=(0,0,0,1)

NE DESESPERE PAS.

[jklmmlkj]

Merci, par contre tu mets "Un petit rappel : e_1=(1,0,0,0) ; e_2=(0,1,0,0) ; e_3=(0,0,1,0) ; e_4=(0,0,0,1)"
Mais dans cet exercice, e_1=(0,1,-2,1), e_2=(1,0,2,-1), e_3=(3,2,2,-1), e_4=(0,0,1,0), e_5=(0,0,0,1) non?

[Ben314]

OUPS !!!!!
Vraiment désolé de "t'enduire d'erreur". Je pense en plus que dans les posts d'hiers, j'ai fait la même boulette.

[Ben314]

Je viens effectivement de constater que DEPUIS LE DEBUT, je n'avais pas lu le début de l'énoncé....
En particulier, tes solutions proposées pour le 2) sont exactes avec a=1, b=1, c=-1/2, d=1/2 et e=0
Vraiment désolé....

Cela risque de changer la donne pour le 1) et il est alors peut être plus simple de regarder si les 3 vecteurs de gauche sont dans le "vect" de droite ET AUSSI que les trois vecteurs de droite sont dans le "vect" de gauche. On peut peut être aller plus vite si tu a vu le théorème suivant :
"Si F1 et F2 sont deux s.e.v. de E de même dimension tels que alors F1=F2"

l'as tu vu ?

P.S. a part le rappel de la fin, les méthodes du post de 17h18 sont valable...

[jklmmlkj]

C'est pas grave^^ Sinon, non je n'ai pas vu ce théorème. Et pour montrer que les vecteurs sont dans le vect, on fait e_1 = a(1,1,0,0) + b(-1,1-4,2) et ca pour chaque vecteur? Puis on regarde si le système d'équations admet des solutions?
Merci.

[Ben314]

Parfaitement.

J'essayait simplement de te trouver une solution plus rapide que celle consistant à résoudre...5 systèmes.

[jklmmlkj]

Des la première, j'ai un problème, j'ai fait (0,1,2,1) = a(1,1,0,0) + b(-1,1,-4,2) mais je trouve b = -1/2 et b = 1/2, cela veut dire que la première proposition est finalement fausse?

[jklmmlkj]

Oups, j'ai rien dit, une petite erreur...
Et pour la 1, c'est faux de faire a(e_1)+b(e-2)+c(e_3) = d(1,1,0,0) + e(-1,1,-4,2) et de voir si a,b,c,d,e, existe?
Merci.

[Ben314]

Non, cela ne répondrait pas à la question que l'on te pose.
Si un vecteur v s'écrit v = a(e_1)+b(e-2)+c(e_3) = d(1,1,0,0) + e(-1,1,-4,2)
cela signifie qu'il est à la fois dans vect{e_1,e_2,e_3} (première égalité) et aussi dans vect{ (1,1,0,0), (-1,1,-4,2) } (deuxième égalité).
Cette "équation" est sans doute celle que tu devrait résoudre si on te demandait de déterminer l'intersection de vect{e_1,e_2,e_3} et de vect{ (1,1,0,0), (-1,1,-4,2) }.