Equation fonctionnelle.

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geta
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Equation fonctionnelle.

par geta » 06 Aoû 2006, 22:03

Bonjour,

voici un truc trop dur pour moi :
trouver f continue définie sur R telle que
f(1/x) = f(x+1)-f(x)

c'est tout.
Merci



Nightmare
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par Nightmare » 06 Aoû 2006, 22:16

Bonjour

(en prenant y=1/x)
Donc :

finalement :

c'est à dire :


On note :
et

On peut démontrer par réccurence que :
(ce résultat est intuitif puisque est involutive)

Conclus en utilisant la continuité de f et la limite de

:happy3:

geta
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par geta » 12 Aoû 2006, 08:13

Merci Nightmare,

tu m'excuseras d'insister, il me manque encore une marche : la dernière (j'espère). Désolé, je n'utilise pas d'éditeur d'équation (ça aussi c'est trop dur pour moi :happy2: )

Si je souviens bien de ce que signifie "involutive" phi(phi(x)) = x et je ne vois pas bien à quoi ça mène de calculer une limite de phi n (x). Cette suite me semble simplement alternée. Si n est pair, on tombe sur x (d'où f(x) = f(x) ) et si n est impair, on reste avec f(x) =f(phi(x)).

Et j'ai comme l'impression que le problème reste entier. Qu'en penses-tu ?

alben
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par alben » 12 Aoû 2006, 11:25

Bonjour,

La formule de Nightmare f(y+1)=f(1+1/y) te permet déjà de voir que f tend vers f(1) lorsque y tend vers l'infini (positif ou négatif) en utilisant la continuité de f.
Sinon, pour le reste ce n'est pas évident
On trouve aussi que la fonction s'annule pour y = 0 ,y=-a et 1/a où a est le nombre d'or 1,618...

Nightmare
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par Nightmare » 12 Aoû 2006, 14:13

Si l'on montre que Phi n converge, on prouve que f est une fonction constante.

tize
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par tize » 12 Aoû 2006, 14:25

si est pair et sinon; il me semble que ne converge même pas simplement.

alben
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par alben » 12 Aoû 2006, 14:33

Nightmare a écrit:Si l'on montre que Phi n converge, on prouve que f est une fonction constante.

Je serais curieux de voir ça
En revanche je pense aussi que la fonction est identiquement nulle, donc constante.
Reste à le montrer :doh:

Nightmare
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par Nightmare » 12 Aoû 2006, 14:46

Curieux de voir quoi Alben ?

alben
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par alben » 12 Aoû 2006, 14:50

Nightmare a écrit:Curieux de voir quoi Alben ?

La preuve qu'il suffirait que phi converge pour que la fonction soit constante.
D'autant qu'en prenant les termes pairs on a bien une suite constante

tize
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par tize » 12 Aoû 2006, 14:51

Je ne sais pas si cela peut nous aider mais on ne sait jamais :

puisque alors en posant cela revient à trouver les fonctions continues sur tels que .

Nightmare
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par Nightmare » 12 Aoû 2006, 14:54

eh bien si , par continuité donc f est constante.

tize
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par tize » 12 Aoû 2006, 15:01

Regarde ce que l'on a écrit avant Nightmare, ne converge pas.

alben
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par alben » 12 Aoû 2006, 15:11

D'accord, si

Ce n'est malheureusement pas le cas ici, les suites ne convergent pas mais ont deux valeurs d'adhérence dont le moins que l'on puisse dire, c'est qu'elles dépendent de y

Nightmare
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par Nightmare » 12 Aoû 2006, 15:27

Oui oui Tize j'ai bien lu, j'expliquais juste comment on pouvait montrer que la fonction était constante si la suite convergeait. Seulement comme vous le dite ce n'est pas le cas, il faut donc trouver une autre méthode.

tize
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par tize » 13 Aoû 2006, 20:53

Je n'ai toujours rien de nouveau et vous ?

alben
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par alben » 13 Aoû 2006, 23:54

Bonsoir,

Peut-être une piste ?
En manipulant les formules je trouve (sauf erreur) :
f(x)+f(-x)=f(2+(1/x))-f(1/x) et par ailleurs
f(2)=2f(1) f(0)=0 et lim y -->infini de f(y)=f(1).
La continuité de la fonction en 0 devrait impliquer que f(1)=0.
On doit pouvoir généraliser un raisonnement du même type pour n'importe quel rationnel et montrer que f(p/q))=0 et donc par continuité que f=0.

tize
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par tize » 14 Aoû 2006, 00:17

alben a écrit:La continuité de la fonction en 0 devrait impliquer que f(1)=0.

Pourquoi ça ?

alben
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par alben » 14 Aoû 2006, 00:44

tize a écrit:Pourquoi ça ?

Non, on ne peut rien en conclure, je me suis trompé...:--:

tize
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par tize » 14 Aoû 2006, 00:49

Je commence à me demander si la fonction est bien identiquement nulle ... :hum:

alben
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par alben » 14 Aoû 2006, 01:01

Oui, moi aussi, mais elle a plein de zéros...
Ca pourrait ressembler à des histoires de tangentes (plutot des arctg)
la fonction involutive de Nightmare pourrait être liée...

 

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