Du neuf sur un autre site . Je n'ai pas regardé en détail mais cela semble tenir la route .
[email=http://www.mathsland.com/index.php?p=Forum&q=LireMessage&identifiant=3ed8b349626f4d721ac750c80d4b19c6]ici[/email]
Imod
Equation fonctionnelle.
par Flodelarab » 15 Sep 2006, 18:23
Imod a écrit:Tu neuf sur un autre site . Je n'ai pas regardé en détail mais cela semble tenir la route .
[email=http://www.mathsland.com/index.php?p=Forum&q=LireMessage&identifiant=3ed8b349626f4d721ac750c80d4b19c6]ici[/email]
Imod
Ou plutot ICI
Tu t trompé!
Tu ne veux pas qu'on ecrive a cette adresse: c une adresse Web et non une adresse de courrier (facile a reconnaitre: pas d'arobase)
tu cliques sur l'objet qui insere des liens (et non e-mail comme tu as fait)
par alben » 15 Sep 2006, 18:46
Imod a écrit:Tu neuf sur un autre site . Je n'ai pas regardé en détail mais cela semble tenir la route .
Imod
Ouais, ils ont démontré que
par Imod » 15 Sep 2006, 19:40
Merci Flodelarab . Comme je l'ai déjà dit je suis novice sur ce site et comme j'ai deux mains gauches ...
Imod
Imod
par alben » 17 Sep 2006, 11:59
Imod a écrit:Je me demande du coup s'il ne serait pas plus simple d'étudier une fonctionqui ne changerait pas de définition de part et d'autre du point critique
, par exemple :
et
. Je regarde cela un peu plus en détail .Imod
Bonjour,
Désolé mais je crois que le phénomène de type sin(1/x) se retrouve également. (c'est encore f et pas i qui figure sur le graphique) je pense que l'on ne peut pas définir i sur [0;0,5] avec la seule condition de limite sur la série...
Je cherche dans ce sens mais rame un peu
par Imod » 17 Sep 2006, 20:26
Merci pour ta réponse Alben .
Il est vraiment surprenant de constater que les deux courbes d'allures très différentes au niveau de conduisent au même phénomène et j'avoue que j'ai beaucoup de mal à me l'expliquer mais je cherche encore .
Domi
Il est vraiment surprenant de constater que les deux courbes d'allures très différentes au niveau de
Domi
par alben » 17 Sep 2006, 20:58
Bonsoir
La démarche d'Imod=Domi est sans espoir. On a inévitablement une discontinuité au voisinage de
du même type que celui de sin(1/x) en x=0
Ensuite, la relation fonctionnelle permet d'étendre la définition à R. De ce côté là, pas de problème, il n'y a pas de surdétermination...
L'examen attentif de ce qui se passe au voisinage de fait apparaitre un calcul récursif :
En notant h la fonction h(x)=(1/x)-1 les itérés de h à partir d'un point proche de s'en éloignent jusqu'à sortir de l'intervalle [0,5;1]
par exemple h(0,619)=0.616 puis h²(0,619)=0,625 ensuite 0,601;0,664;0,505;0,979 et on sort de l'intervalle.
Si on note n la première itération qui nous fait sortir alors la valeur de de i est définie par=i(h^{n}(x))\; + \; \sum_{p=0}^{n-1}\; \;[k-i(1-h^{p}(x))])
(h^0 est l'identité)
Les conditions de la sortie de la boucle conduisent à un dernier itéré compris entre 0 et 0,5. Inversement, si je fixe un y quelconque dans ]0;0,5[, je peux trouver un x aussi près de que l'on veut qui sorte précisément sur ce y.
i est continue et passe de 0 à k sur [0;0,5]. Si k n'est pas nul, on aura donc au voisinage de des oscillations dont l'amplitude sera celle de i sur [0;0,5] et dont la période tend vers zéro.
Dans le raisonnement ci-dessus, je n'ai pas tenu compte des termes de la somme dont la contribution est faible. Il persiste un espoir de pouvoir choisir i de manière à neutrailser ceux-ci mais je n'y crois pas
La démarche d'Imod=Domi est sans espoir. On a inévitablement une discontinuité au voisinage de
Imod a écrit:On définitavec les conditions :
et
.
existe .
Imod
Ensuite, la relation fonctionnelle permet d'étendre la définition à R. De ce côté là, pas de problème, il n'y a pas de surdétermination...
L'examen attentif de ce qui se passe au voisinage de
En notant h la fonction h(x)=(1/x)-1 les itérés de h à partir d'un point proche de
par exemple h(0,619)=0.616 puis h²(0,619)=0,625 ensuite 0,601;0,664;0,505;0,979 et on sort de l'intervalle.
Si on note n la première itération qui nous fait sortir alors la valeur de de i est définie par
Les conditions de la sortie de la boucle conduisent à un dernier itéré compris entre 0 et 0,5. Inversement, si je fixe un y quelconque dans ]0;0,5[, je peux trouver un x aussi près de
i est continue et passe de 0 à k sur [0;0,5]. Si k n'est pas nul, on aura donc au voisinage de
Dans le raisonnement ci-dessus, je n'ai pas tenu compte des termes de la somme dont la contribution est faible. Il persiste un espoir de pouvoir choisir i de manière à neutrailser ceux-ci mais je n'y crois pas
par alben » 17 Sep 2006, 22:01
En me relisant, je réalise que j'ai été un peu léger en négligeant les termes de la somme (pour les itérés 0 à n-1).
L'amplitude des oscillations est bien moindre que celle de i sur 0;1/2. Il est peut-être possible de trouver i qui neutralise ces termes mais cela donne une relation fonctionnelle encore plus complexe : si 0<x<0,5 il faut que
=constante + \sum_{p=1}^\infty \; [i(1-h^{-p}(x))-k])
. Sur les intervalles envisagés, la réciproque de h ne pose pas de problème.
Aucune idée si c'est possible, faudrait voir déjà pour 0,5:id:
L'amplitude des oscillations est bien moindre que celle de i sur 0;1/2. Il est peut-être possible de trouver i qui neutralise ces termes mais cela donne une relation fonctionnelle encore plus complexe : si 0<x<0,5 il faut que
Aucune idée si c'est possible, faudrait voir déjà pour 0,5:id:
par Imod » 18 Sep 2006, 18:25
Juste un petit mot pour signifier à Alben que j'ai bien pris connaissance de ses deux messages . Je suis parfaitement d'accord que la convergence de la série que j'avais proposé n'est absolument pas une condition suffisante d'existence pour 
. Pour la suite , le critère obtenu me semble un peu compliqué et j'en suis à me demander s'il faut essayer de dénicher un exemple de fonction non nulle qui présenterait cette oscillation au niveau de 
mais avec un amortissement ou au contraire s'il faut montrer que seule la fonction nulle convient ( je commence à pencher sérieusement pour la deuxième solution ) . Je n'aurai malheureusement pas le temps d'y travailler ce soir mais j'essaierai demain . Bon courage de ton côté .
Imod
Imod
par alben » 18 Sep 2006, 22:40
Imod a écrit: j'en suis à me demander s'il faut essayer de dénicher un exemple de fonction
Je le pense aussi et il me semble que la construction que vous avez développée sur l'autre forum est inévitable (à vérifier). Dans cette hypothèse, il suffirait de prouver que l'on ne peut pas trouver une fonction i non nulle satisfaisant à la contrainte d'amortissement pour montrer f=0.
En tout état de cause, si f existe, elle doit être unique à une constante près !
par Imod » 19 Sep 2006, 00:20
Alben .
Une intervention sans conséquence pour le sujet , le tutoiement est pour moi naturel , surtout lorsque j'ai un auditeur et un acteur aussi attentif et productif , j'accepte et même j'espère la même chose en retour .
Amicalement Imod
P.S: Je ne suis qu'un modeste prof de collège et pour moi le tutoiement est quasi-automatique .
Une intervention sans conséquence pour le sujet , le tutoiement est pour moi naturel , surtout lorsque j'ai un auditeur et un acteur aussi attentif et productif , j'accepte et même j'espère la même chose en retour .
Amicalement Imod
P.S: Je ne suis qu'un modeste prof de collège et pour moi le tutoiement est quasi-automatique .
par Imod » 19 Sep 2006, 23:46
Encore un message pour pas grand chose , je voulais simplement dire que j'ai encore essayé de trouver une fonction non nulle et que j'ai même cru y arriver en définissant sur 
puis en complétant par des manipulations s'apparentant à celles qui définissent en dehors de 
mais sans succès ( pour le moment ) .
P.S : Alben je n'avais pas compris que tu suivais aussi le Forum "Les Mathématiques.net" . J'ajouterais Hicham aux noms associés au "vous" qui me semble être aussi Evariste sur un autre forum ( on s'y perd un peu ) .
Imod ( voire Domi ) moi aussi j'oublie parfois qui je suis .
P.S : Alben je n'avais pas compris que tu suivais aussi le Forum "Les Mathématiques.net" . J'ajouterais Hicham aux noms associés au "vous" qui me semble être aussi Evariste sur un autre forum ( on s'y perd un peu ) .
Imod ( voire Domi ) moi aussi j'oublie parfois qui je suis .
par alben » 20 Sep 2006, 01:01
Bonsoir,
Le boulot, que j'ai fait semblant d'oublier m'a rattrapé et je ne vais pas avoir beaucoup de temps ces jours-ci.
Résumons où nous en sommes :
La démarche suivie constate que la relation fonctionnelle détermine les valeurs de la fonction sur R à partir d'un intervalle restreint. En choisissant [1;1,5] (je parle de f pas de i) il n'y a pas d'ambiguïté et chaque f(x) est déterminée de manière unique. C'était notre souci à Tize (votre José ?) et à moi-même cf p3/4
On aurait pu choisir un autre intervalle mais ça ne change rien au problème.
Cette méthode marche bien mais ne garantit pas la continuité partout. Plus précisément 4 points posent problème
et leurs symétriques (je raisonne encore sur f).
Cela tient à l'obligation de continuité et au 1/x de la relation initiale.
Pourtant les exemples traités montrent que l'on est pas très loin d'aboutir, il faudrait que les oscillations s'amortissent en même temps qu'elles se rapprochent.
La condition que j'ai proposée (message 107) me semble juste, il faudrait s'en assurer.
Cela voudrait dire qu'en aucun cas la fonction ne peut être fixée arbitrairement sur un intervalle ouvert non vide, elle est déterminée par cette condition. Il n'est pas impossible que l'on puisse trouver un tel oiseau rare qui doit être unique à un ou deux paramètres près.
Sinon f=0.
J'ai comme projet de creuser ces conditions pour tenter d'arriver à une impossibilité, ce qui "démontrerait" que f=0
Mais ce sera pour octobre, à moins que d'aucuns aient aboutit d'ici là
Le boulot, que j'ai fait semblant d'oublier m'a rattrapé et je ne vais pas avoir beaucoup de temps ces jours-ci.
Résumons où nous en sommes :
La démarche suivie constate que la relation fonctionnelle détermine les valeurs de la fonction sur R à partir d'un intervalle restreint. En choisissant [1;1,5] (je parle de f pas de i) il n'y a pas d'ambiguïté et chaque f(x) est déterminée de manière unique. C'était notre souci à Tize (votre José ?) et à moi-même cf p3/4
On aurait pu choisir un autre intervalle mais ça ne change rien au problème.
Cette méthode marche bien mais ne garantit pas la continuité partout. Plus précisément 4 points posent problème
Cela tient à l'obligation de continuité et au 1/x de la relation initiale.
Pourtant les exemples traités montrent que l'on est pas très loin d'aboutir, il faudrait que les oscillations s'amortissent en même temps qu'elles se rapprochent.
La condition que j'ai proposée (message 107) me semble juste, il faudrait s'en assurer.
Cela voudrait dire qu'en aucun cas la fonction ne peut être fixée arbitrairement sur un intervalle ouvert non vide, elle est déterminée par cette condition. Il n'est pas impossible que l'on puisse trouver un tel oiseau rare qui doit être unique à un ou deux paramètres près.
Sinon f=0.
J'ai comme projet de creuser ces conditions pour tenter d'arriver à une impossibilité, ce qui "démontrerait" que f=0
Mais ce sera pour octobre, à moins que d'aucuns aient aboutit d'ici là
par Imod » 20 Sep 2006, 19:39
Alben , je ne vais pas parler trop fort pour ne pas te déranger dans ton travail . Je voulais simplement te dire que je suis d'accord avec ta formule et qu'il est vrai qu'elle ne laisse pas beaucoup de place pour une solution non nulle . De mon côté je vais aussi laisser reposer un peu en attendant l'étincelle , mais je ne lâche pas :mur: .
Imod
Imod
par alben » 06 Oct 2006, 05:13
Bonjour à tous,
Un petit message pour remonter le fil et aussi pour apporter quelques éléments.
En essayant des fonctions plus lisses que celles déjà tentées, on retrouve toujours le même phénomène. C'est même asez surprenant car en prenant deux polynomes de degrés respectifs 2 et 3, les courbes se superposent presque sur la zone critique !
J'ai essayé de faire l'hypothèse que l'on pouvait écrire la fonction i sous forme de série entière. Cela donne quelque chose dont je ne sais pas trop quoi tirer.
Comme point de départ, je pose que l'on doit avoir la relation
=i(h^{-n}(x))\; - \;\sum_{p=1}^n \;[k-i(1-h^{-p}(x))])
où h(x)=1/x-1; i et k étant les notations d'Imod
lorsque=\Phi^{-1} \; et \; i(h^{-n}(x))\rightarrow l=\sum_{p=1}^{\infty}\; \; [k-i(1-\frac{a_p}{a_{p+1}})])
(an) étant la suite de Fibonacci 0,1..
et finalement=\sum_{p=1}^\infty \;[i(1-h^{-p}(x))-i(1-\frac{a_p}{a_{p+1}})])
Ecrivons que=k+ \; \sum_{j=1}^{\infty}\; u_j(x-\Phi^{-2})^j)
La relation devient=\sum_{p=1}^\infty \;\sum_{j=1}^{\infty}\; u_j[(1-h^{-p}(x)-\Phi^{-2})^j-(1-\frac{a_p}{a_{p+1}}-\Phi^{-2})^j])
Tout cela ne posant pas de problème de convergence, on peut permuter les sommes et poser pour x compris entre 0 et 0,5
=\sum_{p=1}^\infty [(1-h^{-p}(x)-\Phi^{-2})^j-(1-\frac{a_p}{a_{p+1}}-\Phi^{-2})^j]\; - \; (x-\Phi^{-2})^j)
Les valeurs de ces gj sont calculables sans difficulté pour tout x donné.
^p}{a_{p+1} \Phi^{p+1}}\; et \;1-h^{-p}(x)-\Phi^{-2}=d_p-\frac{(-1)^px}{(xa_p+a_{p+1})a_{p+1}})
On devrait alors pouvoir déterminer les uj par les relations
)
Et là je tourne en rond
PS : quelques corrections signes inversés depuis de début corrigé en écrivant -i= au lieu de i et omission d'un diviseur ap+1 vers la fin.
Par ailleurs, ces équations n'assurent pas i(0,5)=k qu'il faut donc rajouter au système
Un petit message pour remonter le fil et aussi pour apporter quelques éléments.
En essayant des fonctions plus lisses que celles déjà tentées, on retrouve toujours le même phénomène. C'est même asez surprenant car en prenant deux polynomes de degrés respectifs 2 et 3, les courbes se superposent presque sur la zone critique !
J'ai essayé de faire l'hypothèse que l'on pouvait écrire la fonction i sous forme de série entière. Cela donne quelque chose dont je ne sais pas trop quoi tirer.
Comme point de départ, je pose que l'on doit avoir la relation
lorsque
et finalement
Ecrivons que
La relation devient
Tout cela ne posant pas de problème de convergence, on peut permuter les sommes et poser pour x compris entre 0 et 0,5
Les valeurs de ces gj sont calculables sans difficulté pour tout x donné.
On devrait alors pouvoir déterminer les uj par les relations
Et là je tourne en rond
PS : quelques corrections signes inversés depuis de début corrigé en écrivant -i= au lieu de i et omission d'un diviseur ap+1 vers la fin.
Par ailleurs, ces équations n'assurent pas i(0,5)=k qu'il faut donc rajouter au système
par Imod » 06 Oct 2006, 21:37
Un simple accusé de réception pour Alben .
Avant de laisser reposer le sujet , comme une pâte à crêpe , j'avais exploré une voie assez proche de la tienne mais j'avais fini par abandonner . Quand je trouverai le temps et le courage de reprendre , j'essaierai de trouver un angle d'attaque pour essayer de montrer que seule la fonction nulle convient . La démarche qu'avait entrepris Evariste-Hicham n'était pas sans intérêt et je commencerai par regarder de ce côté . Mais bon , je ne suis pas plus avancé que toi ( sinon moins ) mais je ne lache pas prise moi non plus .
Bon courage .
Imod
Avant de laisser reposer le sujet , comme une pâte à crêpe , j'avais exploré une voie assez proche de la tienne mais j'avais fini par abandonner . Quand je trouverai le temps et le courage de reprendre , j'essaierai de trouver un angle d'attaque pour essayer de montrer que seule la fonction nulle convient . La démarche qu'avait entrepris Evariste-Hicham n'était pas sans intérêt et je commencerai par regarder de ce côté . Mais bon , je ne suis pas plus avancé que toi ( sinon moins ) mais je ne lache pas prise moi non plus .
Bon courage .
Imod
par alben » 07 Oct 2006, 18:10
Bonsoir,
Je m'acharne et les oscillations se tassent. J'ai essayé avec 8 coef puis avec 14 mais le gain n'est pas énorme car le système est un peu lourd et mes moyens de calculs limités. Je pense que les imprécisions de calcul font perdre l'intérêt de la démarche. Ci dessous l'allure de f entre 0,5 et 1,5 (c'est f pas i). On voit que la fonction se rapproche d'une verticale au voisinage de 1 pour s'aplatir ensuite lamentablement.
Prochaine étape : voir ce que ça donne en posant i=cste de 0 + à 0,5
Je m'acharne et les oscillations se tassent. J'ai essayé avec 8 coef puis avec 14 mais le gain n'est pas énorme car le système est un peu lourd et mes moyens de calculs limités. Je pense que les imprécisions de calcul font perdre l'intérêt de la démarche. Ci dessous l'allure de f entre 0,5 et 1,5 (c'est f pas i). On voit que la fonction se rapproche d'une verticale au voisinage de 1 pour s'aplatir ensuite lamentablement.
Prochaine étape : voir ce que ça donne en posant i=cste de 0 + à 0,5
par alben » 08 Oct 2006, 12:01
Bonjour,
La condition pour amortir les oscillations conduit inexorablement à quelque chose qui tend vers la fonction de Heaviside.
Je pense qu'on peut éventuellement construire une démo du fait que f ne peut être continue à partir du constat suivant.
i doit passer de 0 à k entre 0 et
si k est non nul, cela introduit une discontinuité au voisinage de
J'avais fait quelques erreurs dans mes simulations, les oscillations s'amortissent plus vite que sur les graphiques mais les fonctions se rapprochent aussi plus rapidement d'un créneau. Dans la simulation d'ordre 14, i passe de 0 à 0,38 entre 0 et 0,02, elle est quasi constante ensuite jusqu'à 0,5.
La condition pour amortir les oscillations conduit inexorablement à quelque chose qui tend vers la fonction de Heaviside.
Je pense qu'on peut éventuellement construire une démo du fait que f ne peut être continue à partir du constat suivant.
i doit passer de 0 à k entre 0 et
si k est non nul, cela introduit une discontinuité au voisinage de
J'avais fait quelques erreurs dans mes simulations, les oscillations s'amortissent plus vite que sur les graphiques mais les fonctions se rapprochent aussi plus rapidement d'un créneau. Dans la simulation d'ordre 14, i passe de 0 à 0,38 entre 0 et 0,02, elle est quasi constante ensuite jusqu'à 0,5.
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