Equation fonctionnelle de la fonction zêta

par **Pafapafadidel** » 30 Mar 2009, 17:45

Bonjour à tous!

Je rédige en ce moment un mémoire sur la fonction zêta et je cherche la démonstration la plus claire et la plus simple possible pour prouver l'équation fonctionnelle de cette fonction. Il se trouve que la meilleure que j'aie trouvée est celle présentée sur wikipedia, seulement je ne comprends pas le dernier calcul. Si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait grandement apprécié!

(Dans la foulée si quelqu'un s'y connait sur cette fonction ou bien sur le Théorème des Nombres Premiers, je serait heureux d'en discuter avec lui)

Merci d'avance!

par **Nightmare** » 30 Mar 2009, 18:13

Salut :happy3:

Qu'est-ce qui t'ennuie dans la démonstration? J'ai étudié le théorème des nombres premiers dans mon cours d'analyse complexe, que veux-tu savoir?

par **Pafapafadidel** » 31 Mar 2009, 14:35

A ba sa fait plaisir de te voir alors!

Ce qui m'ennuie dans la démonstration est qu'il passe trop vite de l'avant dernière ligne a la dernière, lorsqu'il parle d'une somme d'intégrale "qu'on peut calculer". C'est très certainement vrai, mais j'ai beau la triturer dans tous les sens je n'arrive pas a sortir l'équation (en particulier pour sortir le zeta(1-s) et le gamma(s), je m'y perd totalement).

Mais maintenant qu'on y est, je peut aussi te poser mon principal probleme (car pour l'équation, nul doute que j'y arriverai un jour - avec ton aide je l'espère!): Je n'ai toujours pas compris en quoi l'absence de zéros sur la droite Re(s)=1 implique le théorème des nombres premiers (sous sa forme psi(x)~x bien sur)

A part cela je n'ai pas d'autres problèmes, mais une question: Est il nécessaire de prolonger zeta sur tout le plan complexe pour démontrer le TNP, ou bien suffit il de l'avoir pour Re(s)>0? Plus généralement, quelles sont les propriétés minimales dont on a besoin sur la fonction zeta pour prouver le TNP?

J'en demande beaucoup, mais si tu peut uniquement répondre a la première question ce sera amplement suffisant. Merci de ton aide en tout cas!

par **Pafapafadidel** » 31 Mar 2009, 14:53

A ba sa fait plaisir de te voir alors!

Ce qui m'ennuie dans la démonstration est qu'il passe trop vite de l'avant dernière ligne a la dernière, lorsqu'il parle d'une somme d'intégrale "qu'on peut calculer". C'est très certainement vrai, mais j'ai beau la triturer dans tous les sens je n'arrive pas a sortir l'équation (en particulier pour sortir le zeta(1-s) et le gamma(-s), je m'y perd totalement).

Mais maintenant qu'on y est, je peut aussi te poser mon principal probleme (car pour l'équation, nul doute que j'y arriverai un jour - avec ton aide je l'espère!): Je n'ai toujours pas compris en quoi l'absence de zéros sur la droite Re(s)=1 implique le théorème des nombres premiers (sous sa forme psi(x)~x bien sur)

A part cela je n'ai pas d'autres problèmes, mais une question: Est il nécessaire de prolonger zeta sur tout le plan complexe pour démontrer le TNP, ou bien suffit il de l'avoir pour Re(s)>0? Plus généralement, quelles sont les propriétés minimales dont on a besoin sur la fonction zeta pour prouver le TNP?

J'en demande beaucoup, mais si tu peut uniquement répondre a la première question ce sera amplement suffisant. Merci de ton aide en tout cas!

par **Nightmare** » 31 Mar 2009, 15:19

Re salut :happy3:

Pour l'équation fonctionnelle.

Pour calculer :

On peut se ramener à la fonction bêta.

On fixe la borne supérieure et on la fera tendre vers +oo par la suite.

La première par exemple, on pose le changement de variable

L'intégrale devient :

et on fait apparaitre le

Le reste découle.

par **Nightmare** » 31 Mar 2009, 15:29

2ème question.

L'absence de 0 sur la droite Re(s)=1 permet de fabriquer un prolongement continue de la fonction

sur l'ensemble

(auquel on enlève 1 évidemment) ce qui est nécessaire dans la preuve. (Je suppose que tu l'as sous les yeux)

3ème question > Non on a pas besoin du prolongement analytique sur C.

par **Pafapafadidel** » 02 Avr 2009, 13:59

J'ai peur de ne pas très bien comprendre la fin de ton explication: après le changement de variable, comment passes tu de sin(t) à

sans rien faire sortir d'autre, puis comment te débarasses tu du i dans l'exponentielle? Peut tu détailler un peu plus?

Sinon en tout cas merci de tes réponses! Je risque de refaire appel à toi très prochainement quand je serais en plein dans la démonstration sur l'absence de 0 dans Re(s)=1 :happy2:

par **Nightmare** » 02 Avr 2009, 14:12

Effectivement, ce n'est pas exp(it) mais Im(exp(it)) ! Il suffit de sortir l'image de l'intégrale.

par **Pafapafadidel** » 02 Avr 2009, 14:54

A effectivement je n'avais pas du tout pensé à ça! Mais dans ce cas alors, comment te débarasse tu du i? J'ai pensé à un changement de variable v=it, mais ça fout le boxon avec les bornes de l'intégrale qui ne sont plus réelles... Désolé si je suis un peu lent, j'ai du mal à manipuler les intégrales quand ya du complexe dans l'air (trop complexe pour moi, mais c'est une très bonne occasion d'apprendre par ailleurs).

par **Pafapafadidel** » 07 Avr 2009, 13:27

Je rame, je rame...

par **Pafapafadidel** » 09 Avr 2009, 18:35

Hehe apparement cette demonstration semble plus compliquee que prevue n'est ce pas?

Equation fonctionnelle de la fonction zêta

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