1°)
Tout d'abord le truc sur lesquelle je ne suis pas d'accord : Certain disent que la donnée de f sur l'intervalle [0,1], determine f tout entier. Eh ben c'est faux, on que :
f(1+x) = f(1+1/x) ou encore f(y) = f(y/(y-1))
donc f est stable par application a droite de y -> y/(y-1). or tous ce que l'on sais c'est que cette dernière renvoie [0,2]\{1} -> ]-oo,0] U [2,+oo[
donc la donnée de f sur [0,2] peut en effet determiner f sur R tout entier. Mais pour couper l'intervalle il faudrait des propriétés de symétrie de la fonction. Et ses propriété sont loin d'être évidente.
Par exemple, on arrive à montrer que f(n)+f(-n) = 2f(1) pour tout entier n. Ce qui veut dire que sur les entier la fonction possède une symetrie centrale au point (1,f(1)).
par application de y->y/(y-1), on arrive à montrer aussi que :
f(1+1/n) + f(1-1/n) = 2f(1)
on a donc aussi une symetrie sur {1+1/n : n in Z*}.
Par contre je n'ai pas réussi à entendre cela à tout R.
2°)
en utilisant f(x+1) = f(x) + f(1/x), on pourrait etre tenté de calculer f sur [1,2], avec les valeurs de f sur [0,1], mais ça ne marche pas :
si 0 y/(y-1), on va ramener les 1/x tous entre [1,2], pour réapliquer la formule jusqu'à que tous les x soit dans [0,1]
mais grosse erreur, on arrive à une fonction g : [0,1] -> [0,1] qui vaut
x/(1-x) si x= 1 :
Je n'ai pas eu le courrage de développer d'avantage dans cette direction, mais il me semble qu'à coup de sommation d'abel, il soit possible de simplifier ces relations.
- on peut aussi décaler le problème pour le centrer en 1? en posant h(x)=f(1+x). on à la relation :
h(x) = h(1/x)
une grosse classe de solution (si ce n'est la seule) est donnée par
h(x) = s(x,1/x)
où s est une fonction symétrique à deux variables arbitraire. On peut ainsi construire des fonctions puis tester si elles marches
entre autre on à la sous-classe des solutions possible de la forme phi(x+1/x)
par exemple avec phi(u) = 1/u, on tombe sur h(x) = x/(x^2+1) qui vérifie en plus les conditions en +oo et -oo.
malheureusement elle ne marche pas, si on la réinjecte dans l'equation de départ. Toujours est-il que cela donne une idée de la façon de construire des solutions.
Je vous laisse développer d'avantage, si vous pensez que l'une ou l'autre des voix peut mener à une solution.
