Equation fonctionnelle

par **Ericeric** » 15 Juin 2006, 08:58

Bonjour,

Auriez vous une idee de la facon dont je pourrais resoudre une telle equation fonctionnelle (f est une fonction a valeurs dans N d'une variable reelle. f: R->R. f est supposee nulle sur R- et égale à 1 sur ]0;r])
a, y, r et z sont des reels positifs donnes

pour x>r
f(x) = (1-a)(1 + f(x-y)) + a f(x - z)

Je vous remercie.

(j'ai procédé à quelques corrections après les commentaires ci-dessous)

par **Ericeric** » 15 Juin 2006, 08:59

Bien evidemment, je cherche a determiner la fonction f. a, y et z sont donnes. L'equation est supposee vraie pour tout x>r.

Cordialement

par **nox** » 15 Juin 2006, 09:12

salut

c'est pas plutot f:R->N ?

S c'est partie_entière + 1 si j'ai bien tout saisi.

par **Ericeric** » 15 Juin 2006, 09:17

en realite c'est R -> R+

S est egale a partie_entiere + 1 sur R\N. Sur N, S est egale a partie_entiere.

Enfin, on a egalement y>z.

Cordialement

par **nox** » 15 Juin 2006, 09:22

et c'est certain qu'on peut résoudre ça?

Le fait que S soit pas du tout bijective...on sait même pas si il y a unicité non?

ca sort d'un énoncé ou c'est un calcul qui mène à cette équation? :/

par **Ericeric** » 15 Juin 2006, 09:24

ca sort d'un calcul...

par **nox** » 15 Juin 2006, 09:27

pour ma part je vois pas de solution...et je pense que si il y en a une elle demandera énormément de travail.

en général pour les équations fonctionnelles je tripote quelques théorèmes de topologie + calculs de valeurs particulières pour trouver les propriétés basiques de la fonction et j'essaye d'arriver à une EDO.

mais là la présence de S empêche beaucoup de raisonnements...pas continue, pas bijective, pas dérivable (à moins de faire de la théorie des distributions mais bon je pense pas que ca mène quelque part ^^) ...

Donc si ça sort d'un calcul j'essayerai plutôt de trouver un autre chemin pour aller au bout.

Pour moi c'est l'impasse...

D'autres auront peut-être une solution ou une astuce qui m'a échappé. J'ai pas résolu beaucoup d'équations fonctionnelles jusqu'à présent ;)

par **Ericeric** » 15 Juin 2006, 09:31

En fait moi j'avais le sentiment que S facilite les choses.

Ca nous donne une fonction B croissante (elle l'est, c'est sur) et constante par morceaux. En plus de cela les sauts sont toujours d'une unite.
Trouver B revient donc a trouver les ensembles [ai,bi] tels que
B^-1([ai,bi]) = i

B^-1 = image reciproque par B

par **nox** » 15 Juin 2006, 09:35

oui mais je pense pas qu'il y ait unicité...

on pourrait donc trouver un ensemble de fonctions (au mieux)
et il risque d'être tres général

par **Ericeric** » 15 Juin 2006, 09:43

enlevons donc la fonction S. (ca me convient encore mieux si on peut resoudre ca sans S).

f est une fonction de R->R+, nulle sur R-. On a egalement f qui vaut 1 sur un certain intervalle ]0,r].
(on a de plus 0
voyez vous comment proceder dans ce cas?

merci

par **nox** » 15 Juin 2006, 09:46

hem...ca reste pas tres rigolo ^^

mais ca a une meilleure tête déja et je pense qu'on doit pouvoir s'en sortir.

par contre je suis au boulot donc je vais pas pouvoir plancher dessus la maintenant tout de suite.
mais je regarderai dans la journée et si je trouve quelque chose d'interessant je le poste

par **aviateurpilot** » 15 Juin 2006, 11:34

f(z)=S((1-a)(1+f(z-y)+af(0)))=S((1-a)(1+af(0))

et on a f(0)=S((1-a)(1+f(-y)+af(-z)))=S(1-a)=1 (car t'a dit que 0
donc f(z)=S((1-a)(1+a))=S(a²-1)=1

par **nox** » 15 Juin 2006, 11:45

hem...par contre y et z ne sont pas forcément positifs aviateurpilot.

donc dans le calcul de f(0), f(-y) et f(-z) ne valent pas 0.

par **Ericeric** » 15 Juin 2006, 12:22

Cher aviateurpilot, dans l'équation fonctionnelle le (1-a) n'est pas en facteur de tout mais juste en facteur de (1+f(x-y))

c'est
(1-a)(1+f(x-y)) + a f(x-z)

il me semble que ce n'est pas l'expression que tu as utilisée...

par **aviateurpilot** » 16 Juin 2006, 02:18

merci Ericeric et nox

par **mathelot** » 16 Juin 2006, 08:43

sur l'intervalle où f vaut 1, elle ne vérifie pas l'égalité fonctionnelle
car les fonctions constantes ne sont pas solutions.
On peut regarder l'équation homogène sans second membre....

par **mathelot** » 16 Juin 2006, 08:53

il y a une chose troublante: les fonctions constantes ne vérifient pas
l'équation fonctionnelle (remplacer f par constante k), et pourtant f doit valoir
1 sur un intervalle

et vérifier l'équation sur

.
ou alors, la fonction S est tout à fait nécessaire pour faire marcher les choses...

par **nox** » 16 Juin 2006, 09:07

non pour moi ca marche avec a=3/2 par exemple.
j'ai bien (1-a)*2 + a = 1/2 donc S ( (1-a)*2 + a ) = 1

par **mathelot** » 16 Juin 2006, 15:48

on en déduit:

étant des constantes,

De plus, les fonctions

constantes ne vérifient pas l'équation

avec

les fonctions

ne sont ni croissantes ni décroissantes sur tout intervalle de diamètre

par **nox** » 16 Juin 2006, 16:20

ba si juste au dessus pour f constante égale a 1 ca vérifie l'équation !

ou alors jme suis trompé mais dites moi ou ^^

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