Equation fonctionnelle.

par **B_J** » 13 Sep 2006, 13:54

donc d'apres toi j'ai pas le droit de remplacer f' par g' si f=g ?
PS: on peut bien poser g(x)=f(x+1) et h(x)=f(1+1/x)
donc g(x)=h(x) =>g'(x)=h'(x)

par **alben** » 13 Sep 2006, 13:58

B_J a écrit: on peut bien poser g(x)=f(x+1) et h(x)=f(1+1/x)
donc g(x)=h(x) =>g'(x)=h'(x)

Oui mais va jusque au bout et calcule g'(x) et h'(x) .... :mur:

par **B_J** » 13 Sep 2006, 14:02

bien
g'(x)=f'(x+1)
h'(x)=(-1/x²)f'(1+1/x)=(-1/x²)[f'(1+1/x)]=(-1/x²)f'(x+1)

par **alben** » 13 Sep 2006, 14:06

B_J a écrit:bien
g'(x)=f'(x+1)
h'(x)=(-1/x²)f'(1+1/x)=(-1/x²)[f'(1+1/x)]=NON(-1/x²)f'(x+1)NON

Je renonce...

par **B_J** » 13 Sep 2006, 14:08

alors je peux pas t'expliquer autrement desolé

par **nox** » 13 Sep 2006, 14:12

je tente de prendre le relai ^^

en fait on a f(x+1) = f(1+1/x)
Si on sait que c'est vrai en x0 : f(x0+1) = f(1+1/x0)
si tu dis que la dérivée est égale en x0, tu admets implicitement que la fonction f se comporte de la même façon au voisinage de x0+1 et au voisinage de 1+1/x0.
Pour voir le comportement à droite en f(x0+1), on regarde f((x0+epsilon)+1).
Or il se trouve que f(1+1/(x0+epsilon)) n'est pas à droite de f(1+1/x0) mais à gauche car 1+1/(x0+epsilon) < 1+1/x0.
Donc en fait rien ne te dit que la valeur à droite de f(x0+1) est la même que celle à droite de f(1+1/x0).

Je sais pas si c'est super clair...

par **B_J** » 13 Sep 2006, 14:15

dommage qu'on peut pas trouver de contre-exemple ( car sinon on aurait resolu le probleme )
en tout cas , les derivees de fonctions egales , sont egales

par **nox** » 13 Sep 2006, 14:18

oui mais là c'est pas des fonctions égales !!

en fait dans ta composition tu poses g(x) = f(1+x) et h(x) = f(1+1/x)
tu vois bien que quand tu fais croitre x, 1+x croît et 1+1/x décroît !!

par **B_J** » 13 Sep 2006, 14:25

Oui , vous avez raison .
et voici un contre-exemple :
soit l'equation fonctionnelle :

alors , en appliquant mon raisonnement on arrive a

or

donc

ou

or la fonction

, avec g fonction impaire est solution de cette equation.
desolé :briques:

par **nox** » 13 Sep 2006, 14:28

la fonction exponentielle tout court non ?
voire tout simplement y^x

par **B_J** » 13 Sep 2006, 14:30

oui
PS: g(x)=x est impaire :ptdr:

par **B_J** » 13 Sep 2006, 14:34

ce qui est etonnant , quand meme , c'est que cette methode donne des solutions particulieres !!!
Rq: -1 et 1 sont solutions de l'equation precedante.

par **alben** » 13 Sep 2006, 16:04

Bonjour,

En recherchant un contre-exemple pour B_J je suis retombé sur une fonction qui vérifie la relation

Je l'avais déjà proposée dans le message 21 mais en me plantant dans la transcription :hum:
Cette fonction n'est pas continue en 1 mais elle montre qu'on peut trouver des solutions relativement simples :we:

par **tize** » 13 Sep 2006, 16:37

Effectivement Alben, je m'en souvient... Bravo c'est pas mal du tout, c'est une solution simple mais non triviale :++:

par **Imod** » 13 Sep 2006, 18:45

Pour ceux qui seraient tentés par le sujet mais qui n'auraient pas le courage de lire l'ensemble de la discussion sur l'autre forum .

On pose:

,

.

,

.

et

.

On définit

sur

avec les conditions :

est continue sur

avec

et

.

existe .
On complète alors

sur

de la façon suivante :

si

.

si

.

si

.

Il n'y a plus qu'à poser :

pour avoir une solution au problème . Un exemple simple de fonction

qui satisfait les conditions :

si

.

Et la fonction

associée :

.

J'ai essayé de joindre l'organigramme pour le calcul de

dans ce cas , mais sans résultat .

Imod

par **alben** » 14 Sep 2006, 05:11

Imod a écrit:
J'ai essayé de joindre l'organigramme pour le calcul de dans ce cas , mais sans résultat .
Imod

Bonjour et merci

J'ai essayé de voir comment se déroulait ta fonction simple et j'ai une question un peu hors sujet :
As-tu effectivement fait calculer les valeurs de la fonction par une machine ?
J'ai un doute sur la possibilité de la programmer au voisinage de 1,618

par **Imod** » 14 Sep 2006, 15:59

As-tu effectivement fait calculer les valeurs de la fonction par une machine ? J'ai un doute sur la possibilité de la programmer au voisinage de 1,618

Après une seconde sur ma TI i(1,618)

.

Je joins l'organigramme dès que j'ai compris comment joindre un dessin sur ce forum ( désolé je suis novice ) .

Imod

par **Imod** » 14 Sep 2006, 17:01

Je n'ai pas réussi à joindre mon organigramme . J'essaie de donner les grandes lignes mais sans dessin c'est moins clair .
On note

et

.
- On choisit

et on pose

.
- On pose

et

.
- Si

alors

.
* Si

alors

et

. FIN
- Si

alors

et

. FIN
- Si

alors

-

- Retour à *

Imod

par **alben** » 15 Sep 2006, 01:41

Bonsoir,
Ton organigramme est très clair. Il y a bien une instabilité puisqu'avec le même programme je trouve i(1,618)=0,44921148048 et non 0,4492244633
J'ai représenté le graphe de la fonction ci dessous : attention c'est f et non pas i en zoomant sur les parties sensibles (autour du nb d'or) Elle se comporte un peu comme sin(1/x)

par **Imod** » 15 Sep 2006, 16:40

Merci Alben pour les graphiques qui permettent en effet de mettre le doigt sur les points délicats . Je me demande du coup s'il ne serait pas plus simple d'étudier une fonction

qui ne changerait pas de définition de part et d'autre du point critique

, par exemple :

et

. Je regarde cela un peu plus en détail .

Imod

Equation fonctionnelle.

Qui est en ligne