Salut,
Me revoilà avec encore une équation fonctionnelle. Désolé, je m'acharne.
Je voulais savoir si il était possible de résoudre celle là:
Soit f une fonction continue sur R telle que pour tout réel x on a:
f(2x)=2f(x)
J'ai cherché un bon petit moment mais j'ai l'impression qu'on a pas assez d'informations sur f.
Si elle était dérivable, on aurait à résoudre f(2x)=f(x) mais on est pas beaucoup avancé.
Merci d'avance.
@+ Boris.
équation fonctionnelle
5 messages
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par Ben314 » 07 Juil 2010, 11:59
Salut,
Ta formule de départ implique que f(0)=0 et que, pour tout réel y=2f\Big(\frac{y}{2}\Big) = 4f \Big( \frac{y}{4} \Big) = \cdots=2^n f\Big( \frac {y}{2^n}\Big))
pour tout entier n.
Si f est supposée dérivable en 0 de nombre dérivé
alors, pour tout 
non nul, on a :
\ <br />=\ \lim_{n\rightarrow\infty}2^n f \Big( \frac{y}{2^n }\Big)\ <br />=\ y \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^n}{y} f \Big( \frac{y}{2^n }\Big)\ <br />=\ y\, \lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t} f(t)\ <br />=\ ay)
Si on ne suppose pas f dérivable en 0, alors je pense que tu peut partir d'une fonction quelconque f définie et continue sur [1,2] et telle que f(2)=2f(1) puis la prolonger à ]0,oo[ en utilisant la formule f(2x)=2f(x) : tu obtiendra systématiquement une fonction continue sur ]0,oo[ qui se prolonge par continuité en 0.
Si tu fait de même sur les négatifs, ça te fabrique bien une fonction continue sur R.
Si tu veut un exemple "concret", part par exemple de=-sin(\pi x))
sur [1,2]...
Ta formule de départ implique que f(0)=0 et que, pour tout réel y
Si f est supposée dérivable en 0 de nombre dérivé
Si on ne suppose pas f dérivable en 0, alors je pense que tu peut partir d'une fonction quelconque f définie et continue sur [1,2] et telle que f(2)=2f(1) puis la prolonger à ]0,oo[ en utilisant la formule f(2x)=2f(x) : tu obtiendra systématiquement une fonction continue sur ]0,oo[ qui se prolonge par continuité en 0.
Si tu fait de même sur les négatifs, ça te fabrique bien une fonction continue sur R.
Si tu veut un exemple "concret", part par exemple de
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par egan » 07 Juil 2010, 12:30
Très jolie résolution pour le cas où f est dérivable en 0 !
Par contre, je ne vois pas ce que tu veux faire dans le cas où elle n'est pas dérivable en 0.
Par contre, je ne vois pas ce que tu veux faire dans le cas où elle n'est pas dérivable en 0.
par Ben314 » 07 Juil 2010, 13:00
Ce que je montre, c'est qu si on ne la suppose pas dérivable en 0, on peut prendre n'importe qui sur un intervalle fixé [a,2a] avec comme seule restriction qu'elle doit être continue et que f(2a)=2f(a).
Ensuite, la formule f(x)=2f(x/2) permet de la définir sur [2a,4a] puis sur [4a,8a],... et la formule f(x)=f(2x)/2 permet de la définir sur [a/2,a] puis sur [a/4,a/2] puis...
Ensuite, la formule f(x)=2f(x/2) permet de la définir sur [2a,4a] puis sur [4a,8a],... et la formule f(x)=f(2x)/2 permet de la définir sur [a/2,a] puis sur [a/4,a/2] puis...
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