Composition, monotonie et intégrabilité au sens de Riemann

[oldelpas0]

Bonjour à tous,

J'ai repris les mathématiques à partir de livres à titre personnel, et récemment je suis tombé sur un exercice que je n'arrive pas à résoudre.

Par soucis de notations, notons que et désignent respectivement les espaces de fonctions en escalier et intégrables au sens de Riemann définies sur le segment à valeurs dans .



Dans Théorie de l'intégration, 7e édition par M. Briane et G. Pagès, on trouve à la page 21 le problème suivant :
Montrer que si et si est monotone "coordonnée par coordonnée" alors .



Posons . Le but est donc, pour donné, de trouver et de sorte que :
avec la condition

C'est à peu prés l'avancement de ma résolution : je n'arrive pas à construire ces fonctions en escaliers. Je serais tenté de dire que se construit par composition de avec des fonctions en escaliers associées à pour chacune des fonctions et de même pour .
Mais je parviens pas à démontrer les inégalités du paragraphe précédent, inégalités qui forment la définition des fonctions intégrables au sens de Riemann.

Aussi, je n'en suis pas certain puisqu'il s'agit de la première fois que je rencontre ce type de fonction, mais j'ai interprété le fait de dire que est monotone "coordonnée par coordonnée"[/tex] comme le fait de dire que :
Pour tout et pout tout , définie par où apparaît en position, la fonction est monotone.



Bref, voilà pour ma compréhension de l'exercice. Celui-ci est au début du livre, donc ne doit pas être si difficile. Je passe dons à côté d'une astuce, ou de quelque chose que je ne perçois pas...

De plus, il est possible que je doive construire ces deux fonctions en escalier de zéro. Mais mes tentatives en ce sens ont également échoué.

Pourriez-vous m'aider svp ?

Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
Pour tout et pour tout , vu que ta fonction est intégrable, il existe deux fonction en escalier et telles que sur et que .
Vérifie alors que les fonction et sont bien en escalier sur (c'est assez évident) puis que sur (*)
Le seul truc qui semble un peu chiant à montrer, c'est le fait que .

(*) Facile en utilisant la monotonie "coordonnée par coordonnée" de qui implique que, si alors

[oldelpas0]

Merci pour ta réponse !

La monotonie coordonnée par coordonnée veut elle dire que doit être croissante coordonnée par coordonnée, ou décroissante coordonnée par coordonnée ; ou bien d'une coordonnée à l'autre elle peut être croissante ou décroissante ?

Je ne connais pas ce terme et ne l'ai pas vraiment trouvé défini sur Internet. Dans les deux premiers cas, je saurais démontrer l'inégalité. Dans le troisième cas, je n'y arrive pas (c'est l'interprétation la plus large que j'ai prise et qui me bloque pour l'instant, mais ça se trouve c'est une mauvaise interprétation).

En effet, cette dernière inégalité semble bien mystérieuse. Il doit y avoir de quoi faire en utilisant le fait que les fonctions en escalier sont bornées sur un segment

[oldelpas0]

Je ne suis pas parvenu à déterminer l'inégalité pour

J'ai essayé de démontrer que ce qui pourrait m'aider mais sans succés...

Quelqu'un a-t-il une piste svp ?

[oldelpas0]

Bon, tant pis.

J'abandonne.