Intégrabilité Riemann

[Mathj]

Bonjour,

Si f est intégrable sur [a,b], montrer que la fonction g définie par g(x)=ln( f(x)^4+1 ) est intégrable sur [a,b]
Je cherche une piste pour résoudre rigoureusement cette question.

[zygomatique]

salut

g est bien définie et composée de fonctions intégrables sur [a, b] ....

[Mathj]

salut

g est bien définie et composée de fonctions intégrables sur [a, b] ....

Salut Zygomatique
Comment arrives-tu à cette affirmation ?

[MouLou]

f n'est meme pas supposée continue, donc je vois pas comment g pourrait l'être.

En revanche ce qu'il y a dans le log est supérieur ou égal à 1, donc ta fonction est positive, le seul problème peut provenir du fait que f tend vers + ou - l'infini sur les bords, mais alors je pense qu'une majoration de g par 4f quand x est tres grand est tout à fait possible, et f intégrable donnerait g intégrable

Edit: je croyais avoir vu continu dans ton post zygomatique. par contre composé de fonction intégrables qui est intégrable, j'y crois pas trop

[Mathj]

f n'est meme pas supposée continue, donc je vois pas comment g pourrait l'être.

En revanche ce qu'il y a dans le log est supérieur ou égal à 1, donc ta fonction est positive, le seul problème peut provenir du fait que f tend vers + ou - l'infini sur les bords, mais alors je pense qu'une majoration de g par 4f quand x est tres grand est tout à fait possible, et f intégrable donnerait g intégrable

Edit: je croyais avoir vu continu dans ton post zygomatique. par contre composé de fonction intégrables qui est intégrable, j'y crois pas trop

@MouLou
Pour moi majoration de g pas 4f ca ne me dit rien, peut-être utilisons-nous un mot différent ici. Pourriez-vous me dire ce que cela signifie ?

Je pensais peut-être à montrer que g(x) est continue sur [a,b].
Pour ensuite pouvoir appliquer le théorème de composition:
Soit f bornée et intégrable f:[a,b]-->[c,d].
Soit g:[c,d]-->R une fonction continue
alors g¤f: [a,b] --> R est intégrable.

[MouLou]

Je ne vois pas pourquoi f serait forcément bornée? elle est seulement supposée intégrable non? ou alors tu n'as pas encore vu les intégrales impropres?

Sinon oui je pense que ton approche est la bonne.

[Robot]

@Moulou : l'intégrale est sur un segment (fermé borné), et il s'agit de l'intégrale au sens de Riemann comme le dit le titre. f est donc nécessairement bornée.

[Mathj]

Je ne vois pas pourquoi f serait forcément bornée? elle est seulement supposée intégrable non? ou alors tu n'as pas encore vu les intégrales impropres?

Sinon oui je pense que ton approche est la bonne.

D'accord, je comprends ce que tu me dis. Je viens tout juste de voir les intégrales impropres et j'oubliais quelques détails ..

[MouLou]

Oui d'accord, segment...

Edit:Je me suis renseigné un poil et me voila convaincu!

[Mathj]

Est-ce vrai de dire que :
f^4>=0 pout toute fonction f ?

Si oui,
Je pourrais dire que f^4+1>0 pour tout x appartenant à [a,b]
Donc, que g(x)=ln( f^4+1 ) est continue sur [a,b] ?

[MouLou]

si ta fonction est à valeurs réelles, tu peux. Sinon non...

Mais si f n'est pas continue je vois pas la moindre chance que g puisse l'etre.
en revanche g=hof avec h(x)=ln(x^4+1) et celle ci est continue, donc tu peux appliquer le théorème dont tu me parlais sans problème, que je ne me souviens pas avoir déjà connu!

[Mathj]

si ta fonction est à valeurs réelles, tu peux. Sinon non...

Mais si f n'est pas continue je vois pas la moindre chance que g puisse l'etre.
en revanche g=hof avec h(x)=ln(x^4+1) et celle ci est continue, donc tu peux appliquer le théorème dont tu me parlais sans problème, que je ne me souviens pas avoir déjà connu!

Soit h(x)=ln(x^4+1). On sait que h(x) est continue sur [c,d]
Par le théorème de composition:
Soit f bornée et intégrable f:[a,b]-->[c,d].
Soit h:[c,d]-->R une fonction continue
alors h¤f: [a,b] --> R est intégrable.

Or, g= h¤f donc g est intégrable

Je trouve que cela fait du sens.

Merci à vous tous !

[arnaud32]

1/ g est positive
2/si |f(x)|1 alors 1/|f(x)|<1 et g(x)=4ln|f(x)|+ln(1+1/|f(x)|^4) <4 |f(x)| +ln(2)

tu as donc 0<g<4|f|+ln(2) qui est integrable sur le compact [a,b]

[Robot]

arnaud32, tu ne prouves pas que g est intégrable.

[Ncdk]

Mais une fonction continue est bien intégrable.

Mais f est Riemann-intégrable ou seulement intégrable ?

[Mathj]

La question disait f intégrable sans spécification, mais je suis dans un chapitre sur l'intégrale de Riemann, alors j'ai pris en compte que f était intégrable-riemann

[Ncdk]

Si je me souviens bien, pour prouver qu'une fonction f soit riemann-intégrable, il faut qu'elle soit continue.

[Robot]

Si je me souviens bien, pour prouver qu'une fonction f soit riemann-intégrable, il faut qu'elle soit continue.

Non, tu te souviens mal.

[Ncdk]

Ah non coquille de ma part.

Toute fonction monotone ou continue sur un intervalle [a,b] est Riemann-intégrable.
:ptdr: