Exo de diagonalisation

par **amourdamour** » 27 Fév 2010, 12:05

hello j'ai un exo de diagonalisation trop chaud a faire aidez moi svp
voici l'énoncé:
En désigne l'espace des polynômes à coeffcients réels, dont le degré est inférieur ou égal à l'entier naturel n ; Mn(R) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coeffcients réels ; Gln(R) le sous ensemble de Mn(R) formé des matrices inversibles.
On considère l'application fn qui, à tout élément P de En, associe le polynôme Q défini par :
Q(X) = (X - 1)P'(X) + P(X)
I - Diagonalisation de fn
1. Montrer que fn est un endomorphisme de En. (reussi)
2. Déterminer l'image par fn des vecteurs de la base canonique Bn de En. Écrire alors la matrice An de fn relativement à Bn.
3. En déduire les valeurs propres de fn. L'endomorphisme fn est-il diagonalisable ? Est-ce un automorphisme de En ?

II - Recherche des vecteurs propres de fn
1. Trouver les vecteurs propres associés à la valeur propre 1 dans le cas où lambda = 1.
2. Supposons lambda différent de 1. Soit P un vecteur propre pour fn associé à la valeur propre lambda
(a) Montrer que 1 est racine de P.
(b) Montrer qu'il existe un réel c non nul tel que P = c(X - 1)^(lambda-1).
(c) En déduire l'ensemble des vecteurs propres associés à la valeur propre lambda.

merci bcp de m'aider

par **Nightmare** » 27 Fév 2010, 12:57

Salut,

tu n'as même pas fait une question?

par **amourdamour** » 27 Fév 2010, 12:58

si bien sur la première question du I c'est tout le reste j'arrive pas

par **Nightmare** » 27 Fév 2010, 13:00

La 2 c'est du calcul... Quels sont les vecteurs de la base canonique de Bn? Donc quelles sont leur image par fn?

C'est assez gênant à ton niveau de bloquer sur tout un exercice...

par **amourdamour** » 27 Fév 2010, 13:06

de une en maths je suis super nulle
de deux pour le 2 je crois avoir trouvé la base canoniqque mais je suis pas sur est ce que c'est:
((X^n,0,0,...,0),(0,X^n-1,0,...,0),...,(0,0,...,X,0),(0,0,...,0,1))

par **amourdamour** » 27 Fév 2010, 13:15

amourdamour a écrit:de une en maths je suis super nulle

j'ai vraiment besoin de comprendre ce type d'exo car la diagonalisation c'est assez compliqué je trouve et donc comme cet exo est complexe si j'arrive a comprendre je pense pouvoir progresser

Aidez moi please

par **Joker62** » 27 Fév 2010, 13:22

On travaille dans l'espace des polynômes de degrés inférieur ou égale à n.
Les "vecteurs" de cet espace sont donc des polynômes.

La base que tu as écrite n'est pas réellement représentative parce que tu fais des vecteurs de polynôme...

Mais tu en es pas loin.
N'oublie pas donc que les vecteurs sont des polynômes.
Je te donne les premiers : P1 = 1 ; P2 = X ; P3 = X^2 ; ...

Tu peux calculer l'imager de chacun de ces vecteurs et tu auras la matrice correspondante.

par **Nightmare** » 27 Fév 2010, 13:22

L'exo n'est pas vraiment difficile justement, il s'agit juste d'appliquer les définitions et, bien entendu, de réfléchir un minimum.

Ok pour ta base canonique. Donc tu peux calculer leurs images par fn.

par **amourdamour** » 27 Fév 2010, 13:30

d'accord dans ce cas ma matrice An est

n+1 0 0 ..........................0
-n n 0 ..........................0
0 -(n-1) n-1........................0
....................................................
....................................................
....................................................
0 0 0.....................2 0
0 0 0.....................-1 1

est ce que j'ai juste ou faut il mettre les vecteurs dans l'ordre inverse?

par **Nightmare** » 27 Fév 2010, 13:51

Peu importe, c'est toi qui a fait le choix d'ordonner les vecteurs de la base ainsi. La matrice n'est pas exactement la même que si on les avait ordonnés dans l'autre sens mais bien entendu, ça ne change strictement rien aux résultats qui vont suivre (puisqu'ils sont indépendants de la base choisie)

par **amourdamour** » 27 Fév 2010, 13:55

Nightmare a écrit:Peu importe, c'est toi qui a fait le choix d'ordonner les vecteurs de la base ainsi. La matrice n'est pas exactement la même que si on les avait ordonnés dans l'autre sens mais bien entendu, ça ne change strictement rien aux résultats qui vont suivre (puisqu'ils sont indépendants de la base choisie)

ok donc la matrice que j'ai écrit est juste?
et à partir de cette matrice pour avoir les valeur propre il faut que je résolve le système associé à (An-lambdaI)X=0? si oui comment je fais car le pb c'est que j'ai n équations?

par **alavacommejetepousse** » 27 Fév 2010, 15:35

bonjour

pour les vecteurs propres on écrit la définition d'un vecteur propresans la matrice pour montrer que 1 est racine

autre méthode que celle de l 'exo on résout l 'équa diff qui donne les vecteurs propres et on discute sur lambda pour avoir des solutions polynômiales non nulles de degré au plus n

par **amourdamour** » 27 Fév 2010, 17:41

je comprend la définition mais je ne vois pas comment on peut montrer que 1 est racine de P?
merci

par **Ben314** » 27 Fév 2010, 20:06

amourdamour a écrit:ok donc la matrice que j'ai écrit est juste?
et à partir de cette matrice pour avoir les valeur propre il faut que je résolve le système associé à (An-lambdaI)X=0? si oui comment je fais car le pb c'est que j'ai n équations?

Si tu en est toujours à la question I.3), je te rapelle que l'on te dit "en déduire" (évidement du I.2))
Ta matrice est juste (mais difficile à lire) et elle est triangulaire.
Donc tu devrais pouvoir lire directement les valeurs propres dans la matrice.
Ensuite ne connait tu pas un cas où, en connaissant seulement les valeurs propres, on peut déduire qu'une matrice est diagonalisable ?

Pour le II) il te suffit d'écrire la définition d'un vecteur propre pour trouver les différentes réponses (Il n'est pas utile de se servir de la matrice trouvée au I) dans cette partie)

par **amourdamour** » 28 Fév 2010, 17:13

ok merci bcp

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