Dérivabilité

[beka]

Bonjour ,
En lisant la définition de dérivabilité d'une fonction je trouve qu' on se situe toujours dans un intervalle ouvert . Pourquoi exactement on pose cette condition ?
Merci d'avance pour tout éclaircissement,

[mathelot]

Un ensemble ouvert est voisinage de chacun de ses points.,ce qui permet de définir un nombre dérivé en tout point de l'ensemble ouvert.

Un voisinage de a est un ensemble contenant un ouvert contenant a.

[jsvdb]

La nécessité de prendre un ouvert tire son origine même de la définition qu'on donne de la dérivabilité : on cherche la limite lorsque x tend vers a du rapport (f(x)-f(a))/(x-a) ...
Si la fonction n'est pas définie au moins sur un ouvert autour de a, on va avoir du mal à parler de limite.
Mais bon, comme la notion de limite n'est plus vraiment enseignée dans ses bases les plus profondes, alors c'est pas toujours simple à saisir.

[GaBuZoMeu]

Si la fonction n'est pas définie au moins sur un ouvert autour de a, on va avoir du mal à parler de limite.

Pas de problème par exemple si f est définie sur [a,b] !

[jsvdb]

eh bien on travaille dans l'espace topologique [a,b] qui est ouvert.
On peut aussi parler de suites dérivées ...
On peut parler de dérivée dès lors qu'on peut parler de limite d'une fonction qu'on appelle taux d'accroissement.
Qui dit limite, dit filtre ... et le seul utilisé implicitement dans la plupart des cas (pour ne pas dire tous) est celui des voisinages d'un point.
La question est très vaste ...