DM suite, sigma

[voltaire]

Bonsoir à tous, je n'arrive pas résoudre mon exercice. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?
Voici l'exercice:

La suite (Un) est définie pour tout entier naturel non nul n par Un = symbole sigma (en haut : n ; en bas k=1) 1/k^3 = 1/1^3 + 1/2^3 + ... + 1/n^3

1) Démontrer que la suite est croissante.
2) a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier n>=1 , Un<= 2-(1/n)
b. Que pouvez-vous en déduire pour la suite (Un) ?

Merci d'avance pour tout vos aide !! :)

[Ericovitchi]

Suite croissante ? il te suffit de voir que Un+1-Un est positif; c'est simple, ça vaut le dernier terme de la suite.
Après et bien déroule le raisonnement par récurrence, où en es-tu ?

[voltaire]

Bonsoir Ericovitchi et merci de m'avoir répondu !
Je sais qu'il faut utiliser Un+1 -Un pour conjecturer une suite mais avec la sigma je n'arrive pas, j'ai beau chercher je ne trouve rien .. Et Pour la récurrence (je sais qu'il faut faire initialisation; l’hérédité puis la conclusion) se pose le même problème :(

[Ericovitchi]

Pourtant, Un+1-Un=1/(n+1^)3 >0

[voltaire]

Vous m'aviez dit que ça vaut le dernier terme de la suite. Donc Un+1-Un=1/(n+1^)3 >0 donc la suite est croissante c'est ça ? mais je n'ai pas compris comment vous arrivez à 1/(n+1^)3 pour Un+1-Un ?

[chan79]

Vous m'aviez dit que ça vaut le dernier terme de la suite. Donc Un+1-Un=1/(n+1^)3 >0 donc la suite est croissante c'est ça ? mais je n'ai pas compris comment vous arrivez à 1/(n+1^)3 pour Un+1-Un ?

[voltaire]

(n+3)^3 est alors positif mais comment je prouve cela ?

[voltaire]

en fait je ne vois pas comment on arrive a 1/ (n+3)^3

[Ericovitchi]

tu plaisantes ? n est positif donc n+1 aussi, son cube aussi et l'inverse du cube aussi.

Pour arriver à 1/(n+1)^3 c'est quand même facile à voir sur le post de chan79, tu vois quand même bien que tous les termes s’annulent sauf le dernier puisqu'il n'existe que dans la première parenthèse.