Sigma(COS(nx)/COS(x)^n), pour n variant de 0 à n

[Anonyme]

Soit x un réel tel que x soit différent de Pi/2 +kPi avec k appartenant à Z. Calculez la somme :

S = Sigma (de 0 à n) [(Cos nx)/(Cos x)^n]

Niveau terminale S - Prépa
Pouvez vous m'aider svp

[yos]

cos(kx)/(cosx)^k est la partie réelle de [e^(ix)/cosx]^k. On est ainsi ramené à la somme des n premiers termes d'une suite géométrique.

[Anonyme]

Merci,
Je n'arrive pas à simplifier la formule de la somme géométrique, afin d'isoler les i et trouver la partie réelle. Comment faire??

[yos]

La raison est e^(ix)/cosx ce qui s'écrit aussi 1+itanx.

La somme est [1-(e^(ix)/cosx)^(n+1)]/[1-e^(ix)/cosx].
Le dénominateur est -itanx et donc pas un problème.

Le numérateur est 1-[1/(cosx)^(n+1) e^(i(n+1)x)],

c'est-à-dire 1-cos[(n+1)x]/(cosx)^(n+1)-i sin[(n+1)x]/(cosx)^(n+1).

Je ne vois pas où tu coinces.

La partie réelle de la somme est sin[n+1)x]/[(cosx)^(n+1) tanx], c'est ce que tu cherches.