Polynômes

[t.itou29]

Bonjour,
J'ai du mal à justifier la réponse à une question:
Montrer qu'il existe dans une unique suite de polynôme telle que:



Ça me parait évident en "développant" on a :

avec les des entiers et le polynôme convient et est unique.

Mais est-ce suffisant comme justification?

[Ben314]

A la limite pour l'existence, je trouve ça correct, mais pour l'unicité, je vois pas trop d'où tu la sort...

[t.itou29]

A la limite pour l'existence, je trouve ça correct, mais pour l'unicité, je vois pas trop d'où tu la sort...

Moi non plus, j'étais pas trop convaincu par ce que j'ai écrit ! Mais comment le montrer ? Ça semble vraiment évident quand on part de cos3x on peut l'exprimer comme polynôme en cosx. J'ai essayé de faire pareil avec cosnx en explicitant le polynôme : avec la formule de Moivre, la partie réelle et en en développant avec la formule du binôme. Ça semble marcher mais c'est long et lourd. Comment feriez-vous ?

[t.itou29]

Je suis arrivé à :

En sachant que pour k impair la partie réelle est nule et que si k est pair on peut écrire ce qui donne bien un polynôme en cosx et unique par construction

[Ben314]

Je suis arrivé à :

En sachant que pour k impair la partie réelle est nule et que si k est pair on peut écrire ce qui donne bien un polynôme en cosx et unique par construction

Là, ça ne te donne toujours QUE l'existence : je ne vois pas du tout en quoi la construction montre l'unicité...
Il ne me semble pas que, lorsque l'on a trouvé UN moyen de résoudre un truc ça puisse prouver l'unicité du truc en question.

Ici, pour l'unicité, il faut supposer que tu as deux polynômes Pn et Qn qui marchent. L'hypothèse implique alors que Pn(t)=Qn(t) pour tout les t de la forme t=2.cos(x) donc tout les t de l'intervalle [-2,2].
Or si deux polynômes sont égaux sur une partie infinie de R, ils sont forcément égaux sur R tout entier.

Sinon, concernant l'existence, tu peut aussi faire une preuve par récurrence (double) en utilisant le fait que

[t.itou29]

Là, ça ne te donne toujours QUE l'existence : je ne vois pas du tout en quoi la construction montre l'unicité...
Il ne me semble pas que, lorsque l'on a trouvé UN moyen de résoudre un truc ça puisse prouver l'unicité du truc en question.

Ici, pour l'unicité, il faut supposer que tu as deux polynômes Pn et Qn qui marchent. L'hypothèse implique alors que Pn(t)=Qn(t) pour tout les t de la forme t=2.cos(x) donc tout les t de l'intervalle [-2,2].
Or si deux polynômes sont égaux sur une partie infinie de R, ils sont forcément égaux sur R tout entier.

Sinon, concernant l'existence, tu peut aussi faire une preuve par récurrence (double) en utilisant le fait que

Ah d'accord merci
J'ai un peu de mal à percuter pour l'unicité... mais c'est bon j'ai compris
Pour la méthode par récurrence je vais essayer.