Polynômes

par **euler21** » 03 Aoû 2010, 21:02

Bonsoir
au fait je pense intuitivement que si cette racine n'est pas rationnelle, alors elle est algébrique et si on considère l'idéal de ses polynômes annulateurs, il est engendré par un polynôme de degré strictement supérieur à 2.
Je pense qu'on doit trouver une autre racine via ce polynôme qui nécessairement a le même ordre de multiplicité et conclure.
Mais pour trouver cette racine j'avoue que je trouve pas comment

par **benekire2** » 16 Aoû 2010, 14:38

Salut,

Je viens de "découvrir" se topic qui s'est fait quand j'étais pas là,

Un message m'interpelle:

Ben314 a écrit:Comme un polynôme non constant admet un nombre fini non vide de racines sur C, on peut aussi prendre celle de plus grande partie réelle. Comme P(z)=0 implique P(z+1) ou P(z+2)=0, on tombe sur une contradiction.

P.S. ma première méthode était :
Si P est non identiquement nul alors, pour "presque tout" z, on a
en faisant n->oo
Donc

Je me demande, comment on peut affirmer que cette limite vaut 1 même si c'est assez intuitif ?

Cela revient a dire que pour tout epsilon, il existe n tel que :

Sauf que je voit pas trop ...
PS: A bah oui, on a prit la fonction polynomiale associée ... :marteau:

par **Nightmare** » 16 Aoû 2010, 14:43

Yo,

ce sont des polynômes en n, de même degré ! Donc en factorisant par le monôme maximal etc.

par **lapras** » 16 Aoû 2010, 17:07

Salut,
connaissant un peu les nombres algébriques, pour le 4) on doit pouvoir faire comme ca :
on considere P le polynome minimal de a et Q un polynome de degré d dont a est une racine de multiplicité r > d/2.
On sait que a est une racine simple de P.
Alors on a que P divise Q. On continue : P divise Q/P .... P divise Q/P^(r-1) et au final P^r divise Q donc Q est de degré >= r*degré P > degré P * degré Q /2
donc degré P <= 1 donc a rationnel.

par **benekire2** » 16 Aoû 2010, 17:10

Nightmare -> Oui oui, j'ai vu la stupidité de la question :zen:

> Je réfléchis au 4 ( je vais relire la discussion entière avant)

par **afgsg** » 16 Aoû 2010, 17:14

Un contre exemple en tête?Nike TN|TN Requin|Tn requin|Nike TN|Nike Ninja Je n'ai pas vérifié la véracité de ma preuve mais je crois bien que le résultat est vrai.

par **benekire2** » 16 Aoû 2010, 17:24

Est-ce que quelqu'un peu me donner une indic pour le 4 svp ? (Je vois pas, et je sais pas dans quelle direction aller)

Merci :we:

par **Nightmare** » 16 Aoû 2010, 18:45

On pourra commencer par montrer que si P, polynôme à coefs rationnels, est irréductible sur Q alors il n'a que des racines simples.

par **benekire2** » 17 Aoû 2010, 15:49

Re,

là encore, j'arrive pas a montré ce résultat. Je ne vois pas. J'ai dérivé pour voir ce qui ce passait et bon, je sais simplement que P et P' ne seraient pas premiers entre eux si P avait une racine double. Bref, j'ai rien :hein:

Une indic supplémentaire ? Merci ..

par **lapras** » 17 Aoû 2010, 19:14

Salut
si P a une racine au moins double, il n'est pas premier avec sa dérivée, dans C.
Mais que ca soit dans C ou dans Q, cette notion de "premier entre eux" est la même. (i.e ici pgcd(P,P')=1 dans C <=> pgcd(P,P')=1 dans Q) (pourquoi ?)

par **benekire2** » 17 Aoû 2010, 19:24

bah .. je dirais que déjà l'implication directe est facile, par contre ensuite je vois pas :

(P,P') premiers entre eux dans Q => P n'as pas de racines doubles dans Q mais je vois pas ce qui empèche qu'on ait une racine double non rationelle.

par **benekire2** » 18 Aoû 2010, 14:28

Je suis vraiment désolé, je n'arrive vraiment a rien sur cet exo, quelqu'un aurait-il une correction ou une autre indic ?
Merci ! :we:

par **Nightmare** » 18 Aoû 2010, 15:14

Lapras a tout dit : P et P' sont premiers entre eux dans Q[X], autrement dit il existe deux polynômes R et S de Q[X] tels que QP+SP'=1 (Bezout). Il est donc clair que P et P' n'ont aucune racine complexe commune.

par **benekire2** » 18 Aoû 2010, 15:45

ah oui ... c'est vrai, j'avais oublié notre ami bezout ... merci !

par **benekire2** » 18 Aoû 2010, 16:35

Re,

Maintenant le "lemme" démontré, je réfléchis sur la question principale.

Je sais déjà que cette racine (dont le double de la multiplicité est supérieur à n) est réelle.

Maintenant, je ne trouve pas comment faire bonne utilisation de ce Lemme. J'aimerair bien dire qu'un polynôme de Q[X] se décompose comme produit de polynômes irréductibles sur Q. Ainsi ces polynômes n'auraient que des racines simples, alors j'ai une petite idée pour la suite mais je ne sais pas si ce théorème est valable:

Un polynôme n'admettant pas de racines dans Q est irréductible sur Q.

( A mon avis c'est faux, vu que c'est déjà pas vrai dans R , mais je vois pas comment faire sans ça .. )

Merci !

par **benekire2** » 18 Aoû 2010, 16:40

J'ai une preuve "avec les mains" :

Le polynôme P admet n racines et on le décompose en produit de polynômes irréductible , et comme l'ordre de multiplicité de la racine étudié est >n/ alors il y aura forcément un polynôme irréductible de la forme X-a avec a la racine étudiée i.e a est rationnel .

Cela marche-il ?

PS: D'où sait on que l'on peut décomposer un polynôme en produit de polynômes irréductibles ( dans Q[X] ) ?

par **Nightmare** » 18 Aoû 2010, 16:55

benekire2 a écrit:
Un polynôme n'admettant pas de racines dans Q est irréductible sur Q.

( A mon avis c'est faux, vu que c'est déjà pas vrai dans R , mais je vois pas comment faire sans ça .. )

C'est effectivement faux !

D'où sait on que l'on peut décomposer un polynôme en produit de polynômes irréductibles

On ne peut pas toujours malheureusement.

Pour te mettre sur la piste, je te propose de supposer que la racine n'est pas rationnelle. Dans un premier temps, essaye de voir pourquoi cette racine est forcément multiple, ensuite applique ce qu'on a démontré précédemment.

par **benekire2** » 18 Aoû 2010, 17:05

Nightmare a écrit:essaye de voir pourquoi cette racine est forcément multiple, ensuite applique ce qu'on a démontré précédemment.

Ben, l'énoncé nous dit que cette racine est multiple, il n'y a rien a démontré là. Par contre on peut pas appliquer le théorème à P directement puisque il n'est pas irréductible.

Si tu dit qu'on ne peut pas décomposer P en produit de polynômes irréductibles, j'ai du mal a voir comment l'on va appliquer notre résultat ... :doh:

par **Nightmare** » 18 Aoû 2010, 17:11

On utilise la définition de l'irréductibilité : Si P n'est pas irréductible, il existe A de Q[X] irréductible qui divise P et de degré inférieur à celui de P. On peut alors utiliser le fait que notre racine n'est pas racine double de A. (Pourquoi?)

par **benekire2** » 18 Aoû 2010, 17:31

Parce que si elle était racine double A ne serait pas irréductible.
Ainsi A est scindé sur C et il est a coefficients dans Q.

Et je pense que en recommençant on devrait conclure car P=AA' et on réitère sur A'.

PS: C'est bizarre, mais en faisant comme ça j'ai l'impression que on peut décomposer P en produit d'irréductibles ...

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