Polynômes

[Anonyme]

Parce que si c'est le cas j'avais faux puisqu'il n'y a pas de relation d'ordre dans C.
Mais on pourrais alors justifier que la racines sont distincts en comparant les partie réelles des racines

[Nightmare]

Comme déjà dit récemment, quand on parle de polynôme, on ne parle pas automatiquement de la fonction polynomiale associée (puisque dans beaucoup de cas, les notions ne sont pas identiques). Du coup, un polynôme se caractérise par ses coefficients et pas du tout par l'espace où l'on choisit de faire vivre l'indéterminée. Quand je parle de polynôme complexe, je parle donc d'un polynôme à coefficients complexes, mais on pourrait très bien choisir de ne l'étudier que sur R.

[Nightmare]

Parce que si c'est le cas j'avais faux puisqu'il n'y a pas de relation d'ordre dans C.

Attention, ceci est faux mais bizarrement souvent répété. On peut munir très facilement C d'une relation d'ordre (par exemple, l'ordre lexicographique). Ce qui est impossible en revanche, c'est de définir une relation d'ordre compatible avec la structure de corps de C.

[Anonyme]

En fait qu'en j'ai employé cette expression je voulais dire que si a est un complexe on ne peut pas dire que a+1>a sauf si on redéfini le symbole > .

Faudrait quand même préciser l'espace ou l'on étudié l’indeterminee non ? et donc ça revient a la même chose qu’étudier une fonction polynomiale ?

[Nightmare]

Pas automatiquement, ici on le fait automatiquement quand on parle de racine (même si là encore, on est pas obligé de le faire)

[Nightmare]

Pas d'idées pour 1) et 4) ?

[Anonyme]

Pour la 1) peut on considerer ?

[Ben314]

Pour la 1) peut on considerer ?

Tu peut considérer , ça coute (quasi) rien mais par contre , c'est plus restrictif...

Je donne une petite indication : Quelle tête a Q(X)=X^nP(1/X) ? Quelles sont ces racines ? Quel lien y-a t'il entre les coeffs d'un polynôme et ces racines ?

[Nightmare]

A priori non, maintenant si tu arrives à justifier qu'on puisse le faire, pourquoi pas :lol3:

Il n'est pas inutile ici, d'étudier la fonction associée.

[Ben314]

Il n'est pas inutile ici, d'étudier la fonction associée.

Ah, il semblerait que je n'ais pas fait comme Nightmare...

[Nightmare]

Ma preuve n'est pas très élégante mais a le mérite de marcher, en gros je regarde la dérivée (n-2)éme de P(1/X) qui a un discriminant strictement négatif et Rolle amène une contradiction.

[Anonyme]

A priori non, maintenant si tu arrives à justifier qu'on puisse le faire, pourquoi pas :lol3:

Il n'est pas inutile ici, d'étudier la fonction associée.

J'etais partis sur des inegalites (principalement IAG) pour essayer de montrer qu'on ne peut pas trouver n reel verfiant :

k appartient a R



et comme c'est plus facile de manipler des nombres positifs ...

Mais bon apparemment c'est pas une bonne piste (a moins que je ne sois si mauvais de ca ) je vais donc examiner un peu vos indices.

[girdav]

Pour le 1 : on voit que si est racine de P alors est racine de ( n'est pas racine de ).
On a que .
On note les racines de . On doit avoir que et ce qui entraîne par le fait que que donc .
Ceci ne laisse pas planer de doute : il y a au moins une racine de non réelle (en fait deux puisque le conjugué sera une racine aussi). L'inverse d'un nombre complexe non réel est encore un complexe non réel.

[Nightmare]

Ca me va ! Je pense que c'est la preuve à laquelle Ben pensait.

[girdav]

Je n'avais pas vu (la discussion commence à comporter beaucoup de messages, et j'ai vu a posteriori que c'était marqué en blanc).
En fait, au départ, j'ai essayé de travailler directement avec les racines de , mais ça ne donnait pas de truc super exploitables.
En renversant tout ça, on trouve des trucs plus agréables.

[Nightmare]

Analytiquement parlant :

Si je pose Q(x) le numérateur de P(1/x) une fois réduit au même dénominateur, on a dont le discriminant est égal au facteur positif près à 1-n² qui est négatif. Si P n'avait que des zéros réels, Q aussi et d'après Rolle toutes ses dérivées successives aussi...

:happy3:

[Ben314]

Ca me va ! Je pense que c'est la preuve à laquelle Ben pensait.

Tout à fait, sauf que j'avais utilisé Cauchy-Schwarz pour comparer
et que l'on trouvait plus simplement en utilisant la "méthode Girdav".

La "méthode Nightmare" conduit au même résultat "intermédiaire" mais à l'avantage de ne pas utiliser Cauchy-Schwarz ni les relation racinescoeff. : elle est donc nettement plus "élémentaire"...

[NIKE NINJA]

Parceque c'est mal de donner le même nom à deux polynômes différents. :briques:

[girdav]

Bon je fais remonter le topic car il va bientôt sombrer dans l'oubli alors que le quatre n'est pas encore tombé. Comme je connais le classique, je ne donne pas la solution.

[euler21]

Bonsoir
Pour le 4 déjà que le polynôme soit rationnel et donc à coefficients réels implique que cette racine soit nécessairement soit réelle. Sinon son conjugué est aussi racine de même ordre de multiplicité ...