Polynômes

par **Nightmare** » 24 Juil 2010, 15:58

Hello,

l'heure semble être aux polynômes, je vous propose donc quelques exercices à énoncé court, pas inintéressant:

1) Montrer qu'un polynôme P s'écrivant avec les ne peut avoir uniquement des racines réelles.

2) Soit P un polynôme à coefficients entiers qui prend la valeur 2 en 3 entiers. Montrer qu'il ne peut prendre la valeur 3 en aucun entier.

3)Trouver tous les polynômes complexes P tels que

4)Soit P un polynôme à coefficients rationnels. On suppose que P admet une racine complexe dont le double de la multiplicité est strictement supérieur au degré de P. Montrer que cette racine est rationnelle.

Amusez-vous bien.

:happy3:

par **windows7** » 24 Juil 2010, 16:42

ne peut avoir uniquement ( que ? ) des racines reelles

( c'est faux sans conditions sur les ak )

par **Nightmare** » 24 Juil 2010, 16:46

Un contre exemple en tête? Je n'ai pas vérifié la véracité de ma preuve mais je crois bien que le résultat est vrai.

par **windows7** » 24 Juil 2010, 16:55

tout les ak nuls

P=1+x+x²

par **Nightmare** » 24 Juil 2010, 17:34

Bah, il me semble bien que ce polynôme n'a que des racines complexes non? (Donc n'a pas uniquement que des racines réelles)

par **girdav** » 24 Juil 2010, 18:48

Bonjour,
pour l'exercice 2 : on pose

:

a pour racines entières

,

et

. On doit montrer que Q ne prend la valeur 1 en aucun entier.
On effectue la division euclidienne de

par

: il existe

tel que

. Si

prenait la valeur 1 en un entier

, alors celui-ci serait d'une part différent de

,

et

.
D'autre part,

donc on aurait

donc

se trouve à une distance de

de

,

et

ce qui est impossible car distinct d'eux.
Si P ne prenait la valeur 2 qu'en deux entiers, le raisonnement tomberait à l'eau.

par **Dinozzo13** » 24 Juil 2010, 23:36

Qu'est-ce que cela veut dire ?

par **Ben314** » 24 Juil 2010, 23:37

Ca veut dire que

est un polynôme dont les coefficients sont dans

.

par **Ben314** » 24 Juil 2010, 23:42

Nightmare a écrit:Un contre exemple en tête? Je n'ai pas vérifié la véracité de ma preuve mais je crois bien que le résultat est vrai.

Je confirme que tout est O.K. (mais pas facile niveau Lycée, en particulier le 4) qui est un classique mais qui demande à bien savoir ce qu'est une racine d'ordre d...)

par **Anonyme** » 25 Juil 2010, 10:38

Je réfléchi au 1) , pour l'instant je ne suis pas avancé mais j'ai une question :

Est ce que tout polynôme sécrivant sous la forme

ou P(x) est un polynôme du second degrés a discriminent négatif admet au moins deux racines complexes ?

par **Dinozzo13** » 25 Juil 2010, 10:57

Ben314 a écrit:Ca veut dire que est un polynôme dont les coefficients sont dans .

Mais pourquoi mettre un tilde au-dessus de Q ?

par **Doraki** » 25 Juil 2010, 11:01

Parceque c'est mal de donner le même nom à deux polynômes différents.

par **girdav** » 25 Juil 2010, 11:01

Parce que c'est le quotient de la division euclidienne de

: je pense qu'il faut mettre en évidence le fait que ce quotient a à voir avec

(le tout sans utiliser de prime bien sûr

) bien que l'on s'en doute. On aurait aussi pu écrire

.

par **Dinozzo13** » 25 Juil 2010, 11:06

ah ok :++:

par **girdav** » 25 Juil 2010, 11:09

D'ailleurs, ça me fait penser que

aurait très bien pu s'appeler

, mais je préfère épargner à ceux qui me lisent le

(en plus ça prend du temps pour le taper).

par **Ben314** » 25 Juil 2010, 11:15

Qmath a écrit:Je réfléchi au 1) , pour l'instant je ne suis pas avancé mais j'ai une question :

Est ce que tout polynôme sécrivant sous la forme ou P(x) est un polynôme du second degrés a discriminent négatif admet au moins deux racines complexes ?

Non, par exemple

a toute ces racines réelles alors que le discriminant de

est

(avec un 2 et une inégalité stricte...)

par **Dinozzo13** » 25 Juil 2010, 11:25

Le 3 m'intéresse mais je ne vois absolument comment démarrer :triste:

par **Nightmare** » 25 Juil 2010, 11:25

Ben314 a écrit:Je confirme que tout est O.K. (mais pas facile niveau Lycée, en particulier le 4) qui est un classique mais qui demande à bien savoir ce qu'est une racine d'ordre d...)

J'ai posté niveau lycée pour qu'ils soient tentés d'y réfléchir :lol3: Cela dit à part le 4ème effectivement, les autres ne nécessite pas trop de bagages !

par **Nightmare** » 25 Juil 2010, 11:26

girdav a écrit:Bonjour,
pour l'exercice 2 : on pose : a pour racines entières , et . On doit montrer que Q ne prend la valeur 1 en aucun entier.
On effectue la division euclidienne de par : il existe tel que . Si prenait la valeur 1 en un entier , alors celui-ci serait d'une part différent de , et .
D'autre part, donc on aurait donc se trouve à une distance de de , et ce qui est impossible car distinct d'eux.
Si P ne prenait la valeur 2 qu'en deux entiers, le raisonnement tomberait à l'eau.

C'est tout bon !

par **Nightmare** » 25 Juil 2010, 11:31

Dinozzo13 a écrit:Le 3 m'intéresse mais je ne vois absolument comment démarrer :triste:

Essaye d'examiner les racines éventuelles de P.

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