Polynômes

par **Doraki** » 18 Aoû 2010, 18:13

benekire2 a écrit:Je sais déjà que cette racine (dont le double de la multiplicité est supérieur à n) est réelle.

Pourquoi ?

J'aimerair bien dire qu'un polynôme de Q[X] se décompose comme produit de polynômes irréductibles sur Q.

Pourquoi ce serait pas vrai ?

Si un polynôme est pas irréductible, il se décompose en produit de deux polynômes de degrés plus petits.
Ensuite, on a toujours un pgcd, et ça montre même que la décomposition en facteurs irréductibles est unique.

Le seul truc qui soit différent, quand on compare aux polynômes sur R, c'est qu'on a pas tellement de description simple de l'ensemble des polynômes irréductibles (à part dire qu'ils sont irréductibles).

par **benekire2** » 18 Aoû 2010, 18:30

Salut Doraki !

Et bien , comme P est a coefficient rationnels si a est racine alors son conjugué aussi, ainsi P possède deux racines dont la multiplicité est supérieure à la moitié du degré de P, ainsi a est une racine réelle. ( a est cette fameuse racine .. )

Pour l'irréductibilité, du coup la dernière preuve que j'ai donnée fonctionne ?

par **Doraki** » 18 Aoû 2010, 18:42

Je sais pas j'ai perdu le fil de ce que vous faites en ce moment avec les lemmes et tout.

par **benekire2** » 18 Aoû 2010, 19:00

Doraki a écrit:Je sais pas j'ai perdu le fil de ce que vous faites en ce moment avec les lemmes et tout.

Ok ok je te comprend !

Je récapitule:

Lemme: On pourra commencer par montrer que si P, polynôme à coefs rationnels, est irréductible sur Q alors il n'a que des racines simples.

C'est fait.

Nightmare: On utilise la définition de l'irréductibilité : Si P n'est pas irréductible, il existe A de Q[X] irréductible qui divise P et de degré inférieur à celui de P. On peut alors utiliser le fait que notre racine n'est pas racine double de A. (Pourquoi?)

Moi: Parce que si elle était racine double A ne serait pas irréductible.
Ainsi A est scindé sur C et il est a coefficients dans Q.
Et je pense que en recommençant on devrait conclure car P=AA' et on réitère sur A'.

par **Doraki** » 18 Aoû 2010, 19:17

J'trouve l'indic de nightmare assez mal posée.

En gros il dit de regarder un facteur irréductible de P dont la racine en question est racine ?
Où est l'intérêt de dire que la racine n'est pas racine double de ce polynôme ?
Où utilise-t-on le fait que la racine n'est pas rationelle ?

par **benekire2** » 18 Aoû 2010, 19:42

Bah, j'ai l'impression que l'idée c'est de "faire des paquets de racines" histoire d'avoir une décomposition en produits d'irréductibles, on sait que dans chaque "paquet" on peut mettre que une seule fois notre racine ( a ) et comme elle représente plus de la moitié des racines ... va bien falloir faire un paquet de la forme

et donc comme ce polynôme est censé être a coefficients dans Q alors forcément a est rationnel.

C'est ce que je comprends en tout cas.

par **Doraki** » 18 Aoû 2010, 19:57

Oui c'est tout à fait ça.

On en a pas tellement besoin, mais ça simplifie un peu l'image :

Peux-tu montrer que pour tout nombre complexe algébrique, il n'y a qu'un seul polynôme irréductible unitaire (à coefficients dans Q) dont il est racine ?

(et donc que les différents paquets où la racine apparaît, bah ils sont tous identiques entre eux)

par **benekire2** » 18 Aoû 2010, 20:15

Ca m'a pas l'air super simple. Tu pourrais pas m'aiguiller un peu stp ?

Merci !

PS: J'aimerais déjà démontrer que en considérant a un algébrique sur Q , un tel polynôme divise tout les polynômes ayant a pour racine. Ce serait suffisant pour prouver l'unicité, mais pas l'existence ( c'est déjà pas mal)

par **benekire2** » 19 Aoû 2010, 16:59

Ah ca y est j'ai trouvé, l'ensemble I des P tels qui annulent A forment un idéal i.e il existe un polynôme Q tel que pour tout PK[X] I=QP

Je réfléchis à l'existence

par **Nightmare** » 19 Aoû 2010, 17:59

Doraki a écrit:J'trouve l'indic de nightmare assez mal posée.

En gros il dit de regarder un facteur irréductible de P dont la racine en question est racine ?
Où est l'intérêt de dire que la racine n'est pas racine double de ce polynôme ?
Où utilise-t-on le fait que la racine n'est pas rationelle ?

Si a n'est pas racine double, on peut écrire P=(X-a)^p Q = (X-a)^q RS avec p-1 <= q , R dans C[X] et deg(R) <=deg(Q-1) .

(X-a)^q R est dans Q[X] et deg(R) < deg(Q) < p , deg(R) < q.

Il existe k dans N* et b dans C* tel que b(X-a)^k appartienne à Q[X]. Le coef de X^k implique que b est rationnel, le coef de X^(k-1) est -kab, rationnel, donc a est rationnel.

par **Doraki** » 19 Aoû 2010, 18:00

Oui pour tout x algébrique, l'ensemble des polynômes qui annulent x est un idéal I de Q[X].

Si on a un x algébrique, c'est qu'on connaît un polynôme, ptetre pas irréductible, qui l'annule.
L'existence d'un polynôme irréductible qui l'annule ne devrait pas être follement difficile (c'est l'unicité le problème)

Pour l'unicité je te conseille de regarder un polynôme de degré minimal qui annule x,
montrer qu'il est irréductible,
de prendre un autre polynôme qui annule x, et de faire des trucs avec pour montrer que le deuxième est un multiple du premier.

(si tu veux être un chouïa plus général, la même chose dit que tous les idéaux de Q[X] sont de la forme "l'ensemble des multiples de P" pour un certain P, mais pas forcément irréductible, lui).

par **benekire2** » 19 Aoû 2010, 18:10

L'unicité j'ai fait, et je crois que c'est bon pour l'existence. Il me suffit de montrer que le seul polynôme générateur de I unitaire est irréductible.

par **Doraki** » 19 Aoû 2010, 18:13

Faudra que tu me montres avec I = {P / P(0) = P'(0) = 0}

(et puis j'ai pas vu ta preuve de l'unicité, à part quand tu parles de l'idéal et que tu dis que l'idéal est principal, mais alors là je réclame une preuve que tous les idéaux de Q[X] sont principaux, ce qui revient au même)

par **benekire2** » 19 Aoû 2010, 18:28

Oui je vais essayer.

Faut que je finisse un exo sur la continuité avant (rien a voir...) on me demande de montrer que si une fonction est périodique et continue non constante alors elle admet une plus petite période, et je vois pas plus simple qu'avec les sous groupes additifs de R ... il doit y avoir mieux ..

par **benekire2** » 20 Aoû 2010, 14:27

Voici la preuve, qui est un mix de ce que j'ai fait et ce que j'ai du demander ( principalement sur le début de la preuve...)

D'abord, pour tout idéal I de K[X] il existe f de I tel que I={fg, g dans K[X]}
En effet, si I={0} alors f=0 et sinon on considère f polynôme de degré minimal appartenant à I. Soit g de I. Effectuons la divisions de g par f. cela nous donne g=fq+r avec r=0 ou deg r deg (p,q)

Unicité: considérons que ce polynôme ne soit pas unique et que R vérifie ces conditions alors P divise R et R divise P d'où P=kR pour un certain k or, P et Q sont unitaires i.e P=Q

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