Polynômes

par **Dinozzo13** » 07 Mai 2010, 15:21

Bonjour, est-il vrai qu'un polynôme de degré 3 admet toujours au moins une racine réelle ?

par **Arnaud-29-31** » 07 Mai 2010, 15:25

Salut Dinozzo,

Affirm !! ^^

par **Nightmare** » 07 Mai 2010, 15:30

Salut !

Vrai pour n'importe quel polynôme réel de degré impair. Justification possible : théorème des valeurs intermédiaires.

par **Benjamin** » 07 Mai 2010, 15:32

Bonjour,

Je vais peut-être dire une connerie mais ça me parait imprécis tout ça.

Pour moi, il faut préciser si on travaille dans C[X] ou dans R[X]... Il est évident que le polynôme (z+i)(z+2i)(z+3i) n'a pas de racines réelles et est de degré 3.
Si on travaille dans R[X], les racines sont forcément réelles, si elles existent. La question serait alors "... admet au moins une racine" tout court.

J'aurais plutôt dit "est-ce qu'un polynôme de C[X] à coefficient réelle admet au moins une racine réelle", et la réponse est oui. Est-ce la peine d'autant s'embêter ?

par **Dinozzo13** » 07 Mai 2010, 15:33

Ok, parce que j'avais un doute merci.
Encore une petite chose, j'ai entendu parler de l'ensemble

Est-ce que :

?

par **Arnaud-29-31** » 07 Mai 2010, 15:34

Exactement, ce que te dis Nightmare te permet de généraliser ça a tout les polynômes de degré impair !

Pour voir ça sous un autre angle, je te propose de vérifier que si z est racine d'un polynôme alors

aussi ... et donc en quelque sorte les racines complexes vont deux par deux ... si tu vois vers ou je veux te guider ... ^^

par **Nightmare** » 07 Mai 2010, 15:35

Une autre justification plus algébrique est de "complexifier" le problème. Il faut voir deux choses : premièrement que le corps complexe est algébriquement clos, ie qu'on est sûr que notre polynôme a une racine complexe (c'est pour ça qu'on étend le problème à C ...) ; deuxièmement, il faut voir que si un polynôme réel admet une racine complexe, alors forcément le conjugué de cette dernière est aussi racine (Regarder du côté des coefs).

Avec ça, je te laisse conclure. (La preuve analytique est plus "simple", mais c'est toujours bien de voir les choses en restant dans le cadre des notions employées).

Edit : Too late...

par **Arnaud-29-31** » 07 Mai 2010, 15:36

comme corps ... (ouais c'est logique hein ^^)

est un corps, ca peut être celui des réel, celui dans complexe, voir un autre plus tordu ...

par **Dinozzo13** » 07 Mai 2010, 15:46

Donc pour résumé parce que je suis un peu perdu :
Si on a un polynôme

défini sur

par :

, avec

,
alors ce polynôme admet au moins une racine réelle.
Mais si

alors il n'existe pas forcément de solutions réelles.
Si P est défini sur

et que

, admet-il au moins une racine réelle ?

par **Dinozzo13** » 07 Mai 2010, 15:47

Arnaud-29-31 a écrit:[TEX]voir un autre plus tordu ...

Ah bon, lequel ^^ ?

par **Nightmare** » 07 Mai 2010, 15:52

Dinozzo13 a écrit:Si P est défini sur et que , admet-il au moins une racine réelle ?

Oui, comme on te l'a dit ! :happy3:

par **Dinozzo13** » 07 Mai 2010, 15:56

Mais d'après Arnaud-29-31, le corps K peut désigner encore un autre ensemble ? lequel est-ce ? Celui des quaternions ?

par **Nightmare** » 07 Mai 2010, 15:58

K désigne un corps quelconque, et il en existe beaucoup des corps. Ici dans ce cadre, il est très fort probable qu'il désigne R ou C.

par **Arnaud-29-31** » 07 Mai 2010, 16:03

Je voulais simplement dire que c'était

comme corps ... ca veux dire qu'on travaille dans un corps.

EDIT : too late ^^

par **Dinozzo13** » 07 Mai 2010, 22:00

Me revoilà pour une autre question. J'ai lu sur wikipedia que le polynôme nul avait pour degré

, pourquoi ?

par **Arnaud-29-31** » 07 Mai 2010, 22:10

Il s'agit la d'une convention.

On sait qu'un polynôme constant différent de 0 à pour degré 0 donc pourquoi ne pas attribuer le degré 0 au polynôme nul ?? ...

Il faut savoir que les polynôme vérifie deg(P+Q)

max(deg(P),deg(Q)) et deg(PQ) = deg(P) + deg(Q).

Si le degré du polynôme nul est zéro, y aurait pas une de ces propriété qui viendrait à buguer ?

par **Dinozzo13** » 07 Mai 2010, 22:12

ah ok, c'est pour respecter ces deux égalités :+++:
merci

par **Arnaud-29-31** » 07 Mai 2010, 22:16

(Oops j'ai malencontreusement effacé mon post, je le remets histoire que personne ne pensent que tu parles tout seul ^^

Il s'agit la d'une convention.

On sait qu'un polynôme constant différent de 0 à pour degré 0 donc pourquoi ne pas attribuer le degré 0 au polynôme nul ?? ...

Il faut savoir que les polynôme vérifie deg(P+Q)

max(deg(P),deg(Q)) et deg(PQ) = deg(P) + deg(Q).

Si le degré du polynôme nul est zéro, y aurait pas une de ces propriété qui viendrait à buguer ?

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