Inégalité

[mehdi-128]

Bonjour,

J'essaie de montrer que pour et on a : mais je bloque.

J'ai écrit :


Mais je ne vois pas comment montrer que

[lyceen95]

Par récurrence ?

[mehdi-128]

Ok merci.

Soit

donc la propriété est vraie au rang .
Supposons que pour fixé dans on ait :
On a :
Je suis bloqué ici

[capitaine nuggets]

Salut !

Déjà, faudrait se décider : ou ?

Ne sais-tu pas que pour tout ? Ca se voit en seconde ça normalement... Par récurrence immédiate, on en déduit que pour tout entier .

Sinon, niveau première S, on a l'étude de fonction ou encore le raisonnement par récurrence comme te l'a proposé lyceen95.

Plus simple, revient à montrer que . On conclut par croissance de la fonction

[lyceen95]

et ce nombre est négatif parce que et .

[lyceen95]

Oui... j'ai brûlé les étapes. Dans ma récurrence, je montre que ; La conclusion devrait être simple.

[mehdi-128]

@Lyceen

Ça marche nikel merci

[fastandmaths]

Salut

tu as fait une erreur sur le calcul de la dérivée



donc,

tous les termes sont positif sauf le facteur ( x-1) ...

[mehdi-128]

Joli fastandmaths

Je retente avec la dérivée. On a :







Mais je ne vois pas comment étudier le signe de

[LB2]

Bonjour,

J'essaie de montrer que pour et on a : mais je bloque.

J'ai écrit :


Mais je ne vois pas comment montrer que

Preuve directe sans étude de fonctions :
L'inégalité est vraie (c'est une égalité) pour x = 0.
Supposons
ce qui est vrai.
Par croissance de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme.
Remarque : comme on a même

La méthode la plus directe, sans forme exponentielle, en utiliser la croissance de la fonction sur l'intervalle [0,1[ :

[mehdi-128]

Preuve directe sans étude de fonctions :
L'inégalité est vraie (c'est une égalité) pour x = 0.
Supposons
ce qui est vrai.
Par croissance de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme.

Merci c'est exactement la preuve que je cherchais. Je n'avais pas pensé à diviser par au départ

[LB2]

Souvent, quand on voit une inégalité, on pense "étude de fonctions, dérivée, étude du signe". Si cette méthode est correcte, elle est parfois maladroite. De nombreuses inégalités peuvent en effet se démontrer directement (en utilisant la monotonie de fonctions bien choisies)