Inégalité sur les coefficients d'un polynôme

[Nightmare]

Salut,

un exo pour tous :

Soit un polynôme à coefficients réels de degré n au moins égal à 2, et admettant n racines réelles distinctes.

Montrer que pour tout , .

:happy3:

[windows7]

tu vois une solution simple ?

[windows7]

c'est bon je vois, je pensais a qq chose de bcp plus compliqué ;)

[benekire2]

Salut,

Je viens de chercher un peu tout seul, mais je ne trouve rien, et je vois pas de pistes sérieuses .. Est-ce que quelqu'un pourrait me filer un coup de main svp ?

Merci :++:

[windows7]

tu connais la relation de viete / polynome symetrique ?

[Anonyme]

Pour une fois que je pense avoir le bagage pour répondre a tes défis Nightmare je ne vais laisser passer cette occasion :zen:

Alors les racines sont réels ?

[girdav]

Es-tu sûr de l'inégalité stricte? Avec a racines distinctes et est à coefficients réels mais

[Nightmare]

Hello,

désolé, j'ai effectivement oublié de mentionner que les racines étaient réelles !

[girdav]

Hello,

désolé, j'ai effectivement oublié de mentionner que les racines étaient réelles !

Ça montre au moins que cette hypothèse est indispensable.

[Anonyme]

Si l'on note les racines il suffirait alors de démontrer que



Je ne sais pas comment on appelle ces "permutations" mais j'ai vu cette notation dans ton defi précédant.

Suis je sur la bonne piste ?

[benekire2]

je connais de manière "rapide" les relations de viète, qui dit que les coefficients d'un polyôme sont au signe près les polynômes symétriques élémentaires ( en les racines) Mais je vois pas trop comment faire ..

Tu avances Qmath ?

Edit : Effectivement , les relations de viète incitent grandement a procéder comme Qmath le fait .

[Nightmare]

Tiens, c'est marrant mais les polynômes symétriques n'ont pas du tout été dans mes idées. Si ça marche c'est surement plus simple que la preuve que j'ai en tête.

[Anonyme]

je connais de manière "rapide" les relations de viète, qui dit que les coefficients d'un polyôme sont au signe près les polynômes symétriques élémentaires ( en les racines) Mais je vois pas trop comment faire ..

Tu avances Qmath ?

Non pas trop , j'ai juste réécrit l’inégalité a démontrer d'une façon différente (cf mon dernier message). Je ne crois pas y arriver a quelque chose cette nuit (je regarde le match Espagne-portugal) donc ça sera pour demain en ce qui me concerne (a moins que j'arrive plus a regarder le match :p)

Bonne chance Benekire

[benekire2]

Comment tu procède nightmare ?

Merci Qmath ^^

[Anonyme]

qui dit que les coefficients d'un polyôme sont au signe près les polynômes symétriques élémentaires ( en les racines)

Je viens de me rendre compte que ce que j'avais ecrit était faux . Il fallait noter
et comme ça on ne se préoccupe plus des signes

[Nightmare]

Essayez de montrer auparavant que (P')²-P.P'' est strictement positif.

[Anonyme]

Essayez de montrer auparavant que (P')²-P.P'' est strictement positif.

C'est en rapport avec quelle méthode ? (polynôme symétrique ou la tienne )

[benekire2]

Essayez de montrer auparavant que (P')²-P.P'' est strictement positif.

D'accord, je vais essayer , je te dit ce qu'il en est. :id:
Pour l'instant j'ai fais deux ou trois essais et ça marche, sauf que je vois pas comment encore ..

[windows7]

Si l'on note les racines il suffirait alors de démontrer que



Je ne sais pas comment on appelle ces "permutations" mais j'ai vu cette notation dans ton defi précédant.

Suis je sur la bonne piste ?

oui on veut montrer donc

(autrement dit a(k-1)*a(k+1) / an² < (ak/an)²

ce qui est equivalent a(k-1)*a(k+1) < ak² )

et etant donnée la forme des sigma(k) c'est bien le cas


Ps: nightmare veut la stricte ineg, il faut montrer que cest vraie car ya il a n racines distinctes.

[benekire2]

ce qui est equivalent a(k-1)*a(k+1) < ak² )

et etant donnée la forme des sigma(k) c'est bien le cas

Je troue ça un peu facile "vu la forme des sigma(k) , tu pourrait m'expliquer stp ? Je suis pas sûr de comprendre :hein: