Inégalité sur les coefficients d'un polynôme

[windows7]

l'argument " vu la forme .. " n'est bien sur pas une preuve, juste un indice si cherche dans cette voie, sinon il ya celle proposée par nightmare


Ps : expliquer quoi ?

[girdav]

Je me demande si on ne peut pas faire une récurrence sur le degré des polynômes.
Pour on a et admet deux racines réelles distinctes si et on a donc ça marche.
On suppose que la propriété est vraie pour tous les polynômes de degré qui ont racines réelles distinctes.
Soit un polynôme de degré qui admet racines réelles distinctes. On suppose que est racine de (si ce n'est pas le cas, on considère pour racine ).
On écrit . On considère . admet racines réelles distinctes et est un polynôme de degré . On pose . L'hypothèse de récurrence assure que pour tout on a c'est à dire que pour tout on a donc pour tout on a .
Il reste à montrer que . On a donc il suffit de voir que , ce qui est le cas sinon serait racine de ce qui est exclu.

[benekire2]

Pour la preuve entamer par nightmare, on démontre grâce à la dérivée d'un produit [merci ben :we: ] que P'/P=nX-(x_1+x_2+...x_n) [les racines du polynôme]

En dérivant ce polynôme on obtient le résultat immédiatement car n>0 .

Pour la suite je vais voir.


PS: Girdav -->> Joli comme solution.

[Ben314]

Le petit problème, c'est que, quand tu passe de à ben ça modifie sacrément les coeffs du polynôme...

[girdav]

Le petit problème, c'est que, quand tu passe de à ben ça modifie sacrément les coeffs du polynôme...

Oui, il faut que je montre que le lien entre les anciens et les nouveaux coefficient (plus compliqué que ce que je croyais) permet de conserver la propriété que l'on veut montrer. Je me penche là-dessus.

[Anonyme]

Le probleme c'est comment développer, réduire , factoriser ,.. cette expression

Je n'arrive pas travailler avec... :mur:

[Ben314]

Perso, avec les polynômes symétriques élémentaires, je suis pas arrivé à grand chose...
Par contre, avec l'indic de Nightmare, ça se fait de façon relativement simple...
La "méthode Girdav" parrait bonne, mais j'ai peur que le lien entre les coeffs de P et de \tilde{P} soit un peu dissuasif...

[windows7]

Perso, avec les polynômes symétriques élémentaires, je suis pas arrivé à grand chose...
Par contre, avec l'indic de Nightmare, ça se fait de façon relativement simple...
La "méthode Girdav" parrait bonne, mais j'ai peur que le lien entre les coeffs de P et de \tilde{P} soit un peu dissuasif...

c'est une simple inegalité pourtant

[windows7]

Le probleme c'est comment développer, réduire , factoriser ,.. cette expression


Je n'arrive pas travailler avec... :mur:

et pourtant le resultat en decoule ..

[Anonyme]

Je ne connais pas ce que represente ..

et pourtant le resultat en decoule ..

J'imagine ... mais je ne sais pas manipuler les polynômes symétriques élémentaires. J'ai essaye de chercher une relation entre sigma(k-1) et sigma (k) mais j'ai pas trouvé .. (pour l'instant) mais j'aimerais bien bien savoir s'il existe des relations assez intéressante , exploitable.

[windows7]

essaye avec 3 racines, 4 racines, 5 racines.

[windows7]

Perso, avec les polynômes symétriques élémentaires, je suis pas arrivé à grand chose...
Par contre, avec l'indic de Nightmare, ça se fait de façon relativement simple...
La "méthode Girdav" parrait bonne, mais j'ai peur que le lien entre les coeffs de P et de \tilde{P} soit un peu dissuasif...

t'as regardé du coté des forume de newton ?

[benekire2]

Je poste une solution, très très largement suggérée par Ben :

On considère le polynôme P'/P . Si on écrit grâce au fait que avec des fonctions dérivables

Ainsi en identifiant P a sa fonction polynômiale on a après simplification pour tout X:



En dérivant on a facilement le Lemme suggéré par nightmare. Par suite, en prenant pour x=0 on obtient

Le théorème de Rolle nous donne que P' a n-1 racines réelles, ainsi on peut ré-appliquer le Lemme à P', P'' et P''' pour avoir les inégalités sur les coefficients suivants. Par récurrence on conclu.