DM sur l'inégalité de Bernouilli

[Luc]

parce qu'elle st définit sur R+?

Toute fonction définie sur R+ est croissante?

[lili-05]

Toute fonction définie sur R+ est croissante?

Oui, la fonction est croissante ?

[Kikoo <3 Bieber]

Non !
de dans lui-même n'est pas strictement croissante.

[lili-05]

Mais la fonction g(x) elle est croissante ?

[lili-05]

enfin la fonction g'(x) ???

[Kikoo <3 Bieber]

Ce que Luc veut te dire, c'est que la condition "f est définie sur R+" ne sert à rien pour déterminer les variations d'une fonction.

[lili-05]

Ce que Luc veut te dire, c'est que la condition "f est définie sur R+" ne sert à rien pour déterminer les variations d'une fonction.

Comment est-ce qu'on fait alors pour étudier les variations une fois qu'on dérive la fonction?

[Kikoo <3 Bieber]

Tu étudies son signe : Si la dérivée est positive (au sens large) sur un intervalle, alors f y est croissante (au sens large) et réciproquement !
Plus particulièrement, si la dérivée s'annule en un certain alpha, la fonction y admet une tangente horizontale.

[lili-05]

Est ce que tu pourrais me dire par où commencer ^^

[Luc]

enfin la fonction g'(x) ???

Oui, g'(x) est croissante, et même strictement croissante. Tu peux le voir en calculant g''(x) et en vérifiant que g''(x)>0.

[lili-05]

Oui, g'(x) est croissante, et même strictement croissante. Tu peux le voir en calculant g''(x) et en vérifiant que g''(x)>0.

g"x)= n*(n-1)*(1+x)^n-2
= n²-n* (1+x)^n-2

c'est ça?

Ah oui, et quand tu m'as dit que g'(0)=-1, dans mon énoncé c'est calculer g(0) est ce que la valeur reste la même?

[Kikoo <3 Bieber]

On calcule g(0). g(0)=0
Donc on rajoute une condition supplémentaire : si cette inégalité est juste, alors ce sera au moins pour tout x positif non nul, ainsi que pour tout n entier positif non nul (car égalité dans ce cas-là).
On dérive la fonction g.
On obtient
On calcule g'(0). On a g'(0)=0
Ben tsé quoi, on dérive à nouveau : On tombe sur qui est strictement positive pour tout x positif strictement.
On en déduit que g'(x) est strictement croissante sur . Comme g'(0)=0, alors g est strictement positive pour tout x de .
On en déduit finalement que g est strictement croissante sur .
g(0)=0

On conclut

Edit : Aïe désolé Luc, je supprime le message ? ^^

[lili-05]

Ah d'accord, j'ai compris...Merci bieber ^^
Il me reste de conclure en dressant le tableau de variation

Mais comment peut-on faire pour que l'inégalité de bernouilli est vrai?

[Kikoo <3 Bieber]

Hmmm...
Tu as pu conclure que g était strictement positive.
Donc...

[lili-05]

La fonction g est strictement croissance sur R+ ?

[lili-05]

Que faut t-il démontrer pour que l'inégalité de Bernouilli soit vraie?

[Luc]

Que faut t-il démontrer pour que l'inégalité de Bernouilli soit vraie?

Il faut démontrer que g est positive.
Pour cela on étudie les variations de g. Donc le signe de g'.
Pour étudier le signe de g', on étudie les variations de g'. Donc le signe de g''.
Or, g'' est positive, donc g' est croissante.

g'(0) = -1 est négatif, donc comme g' est croissante et tend vers plus l'infini en l'infini, il existe un réel tel que g'(x)=0. Sur l'intervalle [0, ], g'(x) est négatif donc g est décroissante. Sur l'intervalle [, + l'infini [ g'(x) est positif donc g est croissante.
Donc pour tout x, .

C'est pour ça que je t'ai dit de montrer que .