[Défi] Une inégalité trigonométrique célèbre

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Olympus
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[Défi] Une inégalité trigonométrique célèbre

par Olympus » 29 Aoû 2010, 19:08

Salut à tous !

Le but de ce post est de donner une preuve très élémentaire de l'inégalité suivante :

Soient , et les angles d'un triangle, alors .

Il est un peu dommage que la plupart se contentent de la prouver avec l'inégalité de Jensen ( inégalité qui n'est vraiment pas élémentaire ), du coup, j'ai crée ce post afin de partager ma preuve avec vous ;-)

Vous découvrirez aussi au passage une preuve sympathique de l'inégalité de Cauchy-Schwarz qui ne passe ni par la récurrence, ni par la réécriture sous forme de sommes de carrés .

[I]

On considère un triangle tel que , et soient respectivement les angles opposés aux cotés de longueur , et .

(1) Soit son demi-périmètre . Montrer que :



(2) a- Montrer que les deux proposition suivantes sont équivalentes ( aussi connu sous le nom de "Substitution de Ravi" ) :

- , et sont les longueurs des côtés d'un triangle .
- .

b- En déduire , et en fonction de , et uniquement .

(3)

** Rappel : **

a- Pour tous réels et tels que , montrer que l'inégalité suivante est vraie :



b- En choisissant judicieusement des variables dont la somme des carrés est 1, déduire de la question précédente l'inégalité suivante ( Inégalité de Cauchy-Schwarz ) :





c- En déduire l'inégalité suivante :

.

d- Démontrer que , puis en déduire que :

.

(4) Conclure .

Enjoy :happy3:



benekire2
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par benekire2 » 29 Aoû 2010, 19:14

Marrant :zen:

Normalement c'est au la partie [I] que tu as mis ? ( Enfin c'est bizarre puisque le résultat est prouvé à la fin ... )

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par Olympus » 29 Aoû 2010, 19:16

benekire2 a écrit:Marrant :zen:

Normalement c'est au la partie [I] que tu as mis ? ( Enfin c'est bizarre puisque le résultat est prouvé à la fin ... )


Effectivement, au début je prévoyais de mettre d'autres inégalités trigonométriques ( donc plusieurs parties ), mais au final je me suis dit que ça ira avec une seule inégalité pour le moment . Donc le [I] est inutile ^^

Enfin, non, j'ai rien compris en lisant ton message :briques:

benekire2
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par benekire2 » 29 Aoû 2010, 19:20

non c'est bien t'as bien compris ! Pas de soucis.

lapras
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par lapras » 29 Aoû 2010, 19:55

Honnetement, quand on a un moyen géométrique aussi simple et intuitif que la convexité, pourquoi s'embêter avec des preuves plus compliquées ?
La seule chose non trivial a priori pour jensen est que (convexe et deux fois dérivable) <=> (f'' >= 0).

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par Olympus » 29 Aoû 2010, 20:14

lapras a écrit:Honnetement, quand on a un moyen géométrique aussi simple et intuitif que la convexité, pourquoi s'embêter avec des preuves plus compliquées ?
La seule chose non trivial a priori pour jensen est que (convexe et deux fois dérivable) (f'' >= 0).


Yo lapras :we:

Cela dépend des goûts, moi je n'aime pas les preuves qui passent par la convexité car je les trouve trop "no-skill" . Je préfère au contraire des preuves astucieuses utilisant des outils très élémentaires de niveau plus ou mois de 2nde .

Et cette preuve n'utilise justement que des outils de niveau seconde~première .

Après tout, rien n'empêche de donner des preuves alternatives ;-)

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par Olympus » 02 Sep 2010, 00:05

Aucun intéressé ? :cry:

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par mathelot » 02 Sep 2010, 00:20

Olympus a écrit:Aucun intéressé ? :cry:


Si,si, exercice intéressant...

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par mathelot » 02 Sep 2010, 22:53

Olympus a écrit:Effectivement, au début je prévoyais de mettre d'autres inégalités trigonométriques ( donc plusieurs parties ), mais au final je me suis dit que ça ira avec une seule inégalité pour le moment . Donc le [I] est inutile ^^

Enfin, non, j'ai rien compris en lisant ton message :briques:


oui,d'autres :arf2:

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par Olympus » 03 Sep 2010, 02:40

mathelot a écrit:oui,d'autres :arf2:


T'as déjà terminé la première ? M'enfin, j'en doute pas :zen:

Vu qu'il n'y a pas besoin de répétition car ce sera la même méthode qui sera utilisée ( celle qui consiste à se ramener à une inégalité avec des réels positifs ), je vais juste donner la seconde inégalité à démontrer, qui est un petit clin d'oeil à benekire2 :zen:

L'inégalité à démontrer c'est celle-ci, elle est bien dure à résoudre avec uniquement des outils élémentaires ( AM-GM, réécriture sous forme de somme de carrés ) :



Pour vous aider à la réécriture de l'inégalité, prouvez et appliquez l'identité trigonométrique suivante :



Je donnerai des indices si besoin ! :happy3:

PS : la preuve de cette inégalité ne m'appartient pas ( je n'y étais pas arrivé ), par contre celle du premier post si ( m'enfin, au moins je l'ai découverte indépendamment ) .

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par mathelot » 03 Sep 2010, 15:46

Olympus a écrit:T'as déjà terminé la première ? M'enfin, j'en doute pas :zen:



oui, tu as raison. je vais déja commencer par la 1ère (je suis en train de
travailler sur le triangle mais des égalités)

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par windows7 » 03 Sep 2010, 17:22

sin(a)=2*cos(a/2)*sin(a/2)

donc ton truc devien 1/2*(sin(a)/cos(a/2) + sin(b)/cos(b/2)+ sin(c)/cos(c/2) ... < 3/2

on pose f= .. patati patata ca regle le truc en moins de 2

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par Olympus » 03 Sep 2010, 17:58

windows7 a écrit:sin(a)=2*cos(a/2)*sin(a/2)

donc ton truc devien 1/2*(sin(a)/cos(a/2) + sin(b)/cos(b/2)+ sin(c)/cos(c/2) ... < 3/2

on pose f= .. patati patata ca regle le truc en moins de 2


Le but ici est de se passer de ça ;)

Car si on voulait, y a plus direct : La fonction étant concave en , l'inégalité de Jensen nous donne : , d'où le résultat .

Mais ici, le but est de se passer de tout ce qui est convexité, dérivées etc... et n'utiliser que des outils élémentaires .

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par benekire2 » 18 Sep 2010, 20:15

Olympus a écrit:



Je déterre , comment fait -tu pour montrer ceci ? Ça m'intrigue. Ca doit être con , y a pas une condition genre a+b+c=pi ?

Merci !

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par Olympus » 28 Oct 2010, 14:48

Salut !

Je déterre aussi :zen: ( désolé benekire2, j'avais pas vu ton post avant )

Oui, .

Pour la prouver, on peut commencer par prouver que .

Puis remarquer que .

Ensuite, par Al-kashi on a :




D'où le résultat :zen:

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par benekire2 » 28 Oct 2010, 19:57

Ah ouais c'est bourrin ... mais on y arrive :lol3: j'aurais pourtant pensé a une méthode "classe" .. :ptdr:

Merci beaucoup en tout cas !

benekire2
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par benekire2 » 28 Oct 2010, 20:18

Je peut plus éditer.

Et pour la preuve tu m'avais donné un lien vers un pdf mais j'arrive plus a le retrouver , tu peut me le passer stp ? MErci !

 

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