DM sur l'inégalité de Bernouilli

[lili-05]

Bonjour, j'ai un problème avec l'exercice suivant :

Le but de cet exercice est de démontrer que pour tout réel x positif et pour tout entier naturel
non nul, (1+x)^n > 1+nx
1.Justifier cette inégalité pour les cas particuliers: n=0 et n=1.

Soit n>2. On définit sur R+ la fonction g(x)= (1+x)^n - (1+nx)
2. Étudier les variations de g sur R+; puis dresser son tableau de variation en précisant la valeur g(0).
3. En déduire l'inégalité de Bernouilli est vraie.

J'ai réussi a faire la question 1. Mais je bloque pour les autres questions, pourriez vous m'aider, merci !

[Luc]

Salut!
Sais-tu dériver la fonction g?
Et que vaut g(0)?

[guigui130]

pour la question 1 il te suffis de remplacer n par les valeur 1 et 0

[lili-05]

J'ai dérivé et je trouve g'(x)= n*(1+x)^n-1 -n
Mais ensuite je ne pas quoi faire...

[lili-05]

La question 1, j'ai réussi mais pour les question 2 et 3 je bloque...Guigui ^^

[guigui130]

il me semble que ta dérivé est fausse

[lili-05]

Tu es sûre? Je ne vois pas ou je me suis trompée...

[guigui130]

bé si tu es sur de ta dérivé tu doit résoudre g'(x)>0

[Luc]

J'ai dérivé et je trouve g'(x)= n*(1+x)^n-1 -n
Mais ensuite je ne pas quoi faire...

Ok, c'est correct!
Ensuite, il faut regarder le signe de cette fonction dérivée.
Cette fonction est négative en 0 (car g'(0)=-1), et est strictement croissante.
Donc par théorème, il existe un unique réel tel que .
vérifie l'équation
On n'a pas d'expression explicite pour , mais ce n'est pas grave.
On connait le signe de g'(x) : si x g'(x)>0.

Ensuite on fait le tableau de variations de g.
Pour montrer l'inégalité de Bernoulli, il suffit de montrer que

[Kikoo <3 Bieber]

Oh non, quelle horreur ! Cela se démontre pourtant si facilement par récurrence :(
La dérivée est juste.

[lili-05]

J'ai donc fait : g'(x)>0

[Luc]

Oh non, quelle horreur ! Cela se démontre pourtant si facilement par récurrence
La dérivée est juste.

Si c'est posé de cette façon, je pense qu'ils n'ont pas encore fait la récurrence en cours.

[Kikoo <3 Bieber]

Oui, tu dois avoir raison ! Mais quand même :p

[lili-05]

Bonjour Luc, je n'ai pas encore étudier la récurrence. Je n'ai donc pas compris ce que tu m'as dit...En cours, on est en train d'étudier les limites de suite, mais on a pas encore étudier le raisonnement par récurrence

[Luc]

(1+t)^n-1> 1^n-1
n(1+x)^n-1 > (1*n)^n-1

Attention, tu n'as pas de le droit de passer de la première ligne à la deuxième.
Oublie ce calcul, lis mon post précédent.
Il te reste à montrer que
PS : il n'y a pas de récurrence dans que ce que je t'ai dit :we:

[lili-05]

Attention, tu n'as pas de le droit de passer de la première ligne à la deuxième.
Oublie ce calcul, lis mon post précédent.
Il te reste à montrer que
PS : il n'y a pas de récurrence dans que ce que je t'ai dit :we:

Je n'ai pas compris comment tu as fait pour montrer que g'(0)=-1. Et que représente alpha n quand tu me dis de le montrer?

[Luc]

Je n'ai pas compris comment tu as fait pour montrer que g'(0)=-1. Et que représente alpha n quand tu me dis de le montrer?

Je te recopie mon post d'avant :
g'(0)=n*(1+0)^n-1 -n=n-1-n=-1. De plus, x->g'(x) est strictement croissante.
Donc par théorème, il existe un unique réel tel que .
vérifie l'équation
On n'a pas d'expression explicite pour , mais ce n'est pas grave.
On connait le signe de g'(x) : si .

Ensuite on fait le tableau de variations de g.
Pour montrer l'inégalité de Bernoulli, il suffit de montrer que

[lili-05]

Désolé, mais je ne comprends vraiment pas comment on fait pour étudier les variations :mur:

[Luc]

Désolé, mais je ne comprends vraiment pas comment on fait pour étudier les variations :mur:

est-ce que tu vois pourquoi g'(x) est croissante?

[lili-05]

est-ce que tu vois pourquoi g'(x) est croissante?

parce qu'elle st définit sur R+?