Inégalité racines carrées et valeur absolue

[Menthix]

Bonjour, je ne comprends pas d'où vient cette inégalité cette inégalité :
Soit deux suites Xn et Yn tq lim(Xn - Yn) = 0
On a : |√(Xn)-√(Yn)| <(ou égal) √|Xn-Yn|

Merci d'avance de vos réponses

[chan79]

salut
Montre que si
équivaut à

(élévation au carré)

[Menthix]

Bonjour Chan, si a<b, la seule chose intéressante que j'arrive à montrer c'est :

|√a-√b| <(ou égal) √|a-b|

<=> |a| - 2√|ab| + |b| < |a-b| or 2√|ab|<2|b|

<=> |a| - 2√|ab| + |b| < |a|-|b|

(puis d'après l'inégalité triangulaire : |a| - 2√|ab| + |b| < |a|-|b| < |a-b|)
Est-ce juste ?

Qu'en est-il du cas où a>b ?

Merci d'avance

[chan79]

et sont supposés positifs et comme a et b jouent un rôle symétrique, on peut supposer

en élevant au carré




cqfd
A rédiger en détails, bien-sûr

[Menthix]

Merci beaucoup ! Les valeurs absolues me perturbent.