Inégalité

[t.itou29]

Bonjour,
Je bloque sur l'inégalité suivante:
Soient a et b deux réels (avec a non nul) montrer que :

C'est issu des cours d'animaths sur les inégalités donc normalement il n'y a besoin que de manipulations algébriques et pas d'analyse. J'ai essayé plusieurs approches mais sans succès...

[Sake]

Je pense que j'ai qqchose.

Par des raisons de symétrie, considère plutôt la quantité Montrons que cette quantité est plus petite que .

D'une part, et , d'où :
d'autre part :
et pareil en interchangeant a et b.

Donc on a ce qui conclue (je pense)

Erratum : Je ne sais plus développer des identités remarquables. Voir plus bas pour une correction

[t.itou29]

Je pense que j'ai qqchose.

Par des raisons de symétrie, considère plutôt la quantité Montrons que cette quantité est plus petite que .

D'une part, et , d'où :
d'autre part :
et pareil en interchangeant a et b.

Donc on a ce qui conclue (je pense)

Merci ! C'est vraiment astucieux, comment as-tu pensé à introduire le symétrique et choisir les quatres carrés ?

Sinon avec l'analyse ça aurait donné quoi ? J'avais essayé par curiosité mais je connais pas trop les dérivées d'une fonction à plusieurs variables. J'ai dérivé par rapport à b et trouver un minimum en fonction de a mais il n'était pas forcément supérieur à racine de 3. Quelle est donc la méthode pour dériver une fonction de plusieurs variables ?

[fatal_error]

hello,

pour la méthode analytique on peut procéder ainsi.
On considère la fonction
f(a,b)=a^2+b^2+1/a^2+b/a
on veut montrer que le couple (a0,b0) qui minimise f est tel que f(a0,b0) >= sqrt(3)

pour ca on cherche les points critiques de f en lesquels f admet un minimum ou maximum.
Il sont solutions de grad f = 0.
idem

idem
(A) 2a-2/a^3-b/a^2=0
(B) 2b+1/a = 0
(voir dérivée partielles sur wiki)

on déduit (1): b=-1/(2a)
en réinjectant dans (A): a^4-3/4=0


Ensuite, on calcule la hessienne de f (voir wiki)


le déterminant de H (la matrice hessienne) vaut :

Or au point critique donc


ca veut dire que les valeurs propres de H sont de même signe c'est rassurant! car Delta est positif
Nous on cherche un minimum, et on a un minimum lorsque H est definie positive, idem les valeurs propres positives.
Donc comme les valeurs propres sont positives, la trace de H aussi.

Donc on veut a tq
( et en remplacant l'inégalité à l'air vérifiée..)
On voit que nos deux a sont solutions, (c'est assez immédiat parce que a^2, b^2, ca fait péter le signe de a, et b/a le signe s'annule)
Bref, on prend juste un a parmi , et on sait qu'il donne minimum >global< de f.

f(a,b)=a^2+b^2+1/a^2+b/a
remplace par b=-1/(2a) (on est au point critique faudrait mettre a0,b0 mais c'est relou à écrire)
f(a,b)=a^2+1/(4a^2)+1/a^2-1/(2a^2)=a^2+3/(4a^2)
f(a,b)=sqrt(3)/2+3/(2sqrt(3))=sqrt(3)

[Sake]

Merci ! C'est vraiment astucieux, comment as-tu pensé à introduire le symétrique et choisir les quatres carrés ?

Sinon avec l'analyse ça aurait donné quoi ? J'avais essayé par curiosité mais je connais pas trop les dérivées d'une fonction à plusieurs variables. J'ai dérivé par rapport à b et trouver un minimum en fonction de a mais il n'était pas forcément supérieur à racine de 3. Quelle est donc la méthode pour dériver une fonction de plusieurs variables ?

La symétrie c'est par habitude ! Généralement un problème est facilement traitable avec plus de symétrie (les factorisations sont plus aisées et on peut y voir plus de choses) et lorsqu'il y en a pas assez on peut en rajouter car a et b sont des variables discrètes auxquelles on peut faire jouer le même rôle.
D'abord j'ai voulu faire apparaître les termes a/b et b/a ce qui m'a amené aux premiers carrés et après j'ai cherché un moyen de faire apparaître les autres termes, ce qui s'est fait naturellement.

[t.itou29]

hello,

pour la méthode analytique on peut procéder ainsi.
On considère la fonction
f(a,b)=a^2+b^2+1/a^2+b/a
on veut montrer que le couple (a0,b0) qui minimise f est tel que f(a0,b0) >= sqrt(3)

pour ca on cherche les points critiques de f en lesquels f admet un minimum ou maximum.
Il sont solutions de grad f = 0.
idem

idem
(A) 2a-2/a^3-b/a^2=0
(B) 2b+1/a = 0
(voir dérivée partielles sur wiki)

on déduit (1): b=-1/(2a)
en réinjectant dans (A): a^4-3/4=0


Ensuite, on calcule la hessienne de f (voir wiki)


le déterminant de H (la matrice hessienne) vaut :

Or au point critique donc


ca veut dire que les valeurs propres de H sont de même signe c'est rassurant! car Delta est positif
Nous on cherche un minimum, et on a un minimum lorsque H est definie positive, idem les valeurs propres positives.
Donc comme les valeurs propres sont positives, la trace de H aussi.

Donc on veut a tq
( et en remplacant l'inégalité à l'air vérifiée..)
On voit que nos deux a sont solutions, (c'est assez immédiat parce que a^2, b^2, ca fait péter le signe de a, et b/a le signe s'annule)
Bref, on prend juste un a parmi , et on sait qu'il donne minimum >global< de f.

f(a,b)=a^2+b^2+1/a^2+b/a
remplace par b=-1/(2a) (on est au point critique faudrait mettre a0,b0 mais c'est relou à écrire)
f(a,b)=a^2+1/(4a^2)+1/a^2-1/(2a^2)=a^2+3/(4a^2)
f(a,b)=sqrt(3)/2+3/(2sqrt(3))=sqrt(3)

Merci de ta réponse, je vais la relire à tête reposée en regardant sur wiki pour les dérivées partielles, la hessiennne et les points critiques. On voit ça en quelle année ?

[t.itou29]

La symétrie c'est par habitude ! Généralement un problème est facilement traitable avec plus de symétrie (les factorisations sont plus aisées et on peut y voir plus de choses) et lorsqu'il y en a pas assez on peut en rajouter car a et b sont des variables discrètes auxquelles on peut faire jouer le même rôle.
D'abord j'ai voulu faire apparaître les termes a/b et b/a ce qui m'a amené aux premiers carrés et après j'ai cherché un moyen de faire apparaître les autres termes, ce qui s'est fait naturellement.

Je vais essayer d'appliquer ce principe pour résoudre d'autres inégalités sur lesquelles je bloque. Il y en a une en particulier qui m'énerve depuis une semaine, je renvoie un message si n'y arrive toujours pas.

[Sake]

En vrai je te remercie beaucoup car j'avais essayé de lire ce polycop d'animath il y a 4 ans et j'avais pas ta volonté et ton intelligence pour le lire en entier (j'en avais trop marre dès le réordonnement). Je vais le lire au bout cette fois-ci :ptdr:

[t.itou29]

En vrai je te remercie beaucoup car j'avais essayé de lire ce polycop d'animath il y a 4 ans et j'avais pas ta volonté et ton intelligence pour le lire en entier (j'en avais trop marre dès le réordonnement). Je vais le lire au bout cette fois-ci :ptdr:

Je dois avouer que je commence à en avoir marre aussi :ptdr:
Les deux premiers chapitres j'arrivais à résoudre les 3/4 des problèmes mais là j'ai réussi à peine la moitié et je bloque complément sur le reste...
C'est comme tous les exos d'olympiades, quand on trouve pas l'astuce ça devient vite frustrant !

[Sake]

Oui, et comme cette astuce est souvent catapultée (tirée par les cheveux), assez décourageant quand on ne voit pas ses efforts couronnés !

[fatal_error]

On voit ça en quelle année ?

seconde année, mais bon, t'as tous les outils en première année!

[t.itou29]

seconde année, mais bon, t'as tous les outils en première année!

Avant de commencer la première année de prépa, j'ai encore un an à faire (ou plutôt à rien faire...) en terminale !
J'hésite a entamer le programme de prépa mais je sais pas si c'est une bonne idée. Les exos d'olympiades apprennent à réfléchir et trouver des astuces mais ça ne permet pas de découvrir de nouvelles branches des mathématiques (par exemple quand j'ai commencé les intégrales, j'ai trouvé géniales toutes les applications possibles, pareil pour les complexes). Qu'en pensez-vous ?

[fatal_error]

ben ca dépend, yen a qui étudient en avance..
Après ya le risque de pas très bien apprendre (en croyant avoir bien appris) puis le risque de se faire *** l'année d'après aussi..

C'est à toi de voir.

De manière générale, j'ai vu qu'on conseillait plutot de faire du renforcement (genre même notions mais avec des exo plus exotiques) plutot que d'apprendre des notions qui seront apprises l'année d'après

en tout cas, tu peux tjs regarder les graphes tu les verras dans looongtemps après :ptdr: (alors que tu peux faire des trucs cools sans avoir des notions super avancées)

[Ingrid55]

@titou 29, Tu veux faire spécialité maths? :doh:

Vous trouvez pas qu'il y'a des théorèmes que l'on apprend pour rien aux lycéens , et biensur les nombres complexes qui ne servent qu'à ceux qui veulent faire polytech° :zen: (bon savoir calculer le delta d'une équation du 2nd degré est important comme même )

[Sake]

Oui, et pourquoi pas aussi de la géométrie type olympiades ? C'est, je pense, ce qu'il y a de plus dur dans le genre, et bien plus stimulant que la géométrie de lycée.
Je te conseille de voir des choses qui nécessitent pas mal de raisonnement (comme ça ou encore l'arithmétique) et peu d'outils. Cela te sera utile en prépa, où l'on t'apprend plutôt des méthodes qu'à réfléchir aussi profondément, parce que manque de temps.

[jlb]

D'une part, et

tu obtiens comment cela, c'est bizarre comme développement?

[t.itou29]

Oui, et pourquoi pas aussi de la géométrie type olympiades ? C'est, je pense, ce qu'il y a de plus dur dans le genre, et bien plus stimulant que la géométrie de lycée.
Je te conseille de voir des choses qui nécessitent pas mal de raisonnement (comme ça ou encore l'arithmétique) et peu d'outils. Cela te sera utile en prépa, où l'on t'apprend plutôt des méthodes qu'à réfléchir aussi profondément, parce que manque de temps.

J'avais l'intention de commencer le pdf d'arithmétique après les inégalités, j'ai regardé le premier chapitre et les problèmes ont l'air intéressants. J'ai pas pensé à la géométrie (j'en fais très peu) mais pourquoi pas. Déjà rien que les deux ça devrait m'occuper pas mal de temps.
Par contre, j'adore tout ce qui est intégrales, dérivées... donc je commencerais bien un cours de niveau post-bac d'analyse, dans la bibliographie d'un livre sont conseillés les ouvrages de Boas, Spivak et Apostolique. Les connais-tu ?

[Sake]

Merci pour ton message jlb !!

J'ai fait de grosses erreurs dans ma précipitation, et sans ça, je ne les aurais pas vues.

Je pense que (a + 1/(2b))² + (b + 1/(2a))² + (sqrt{3}/2*(1/a) - a)² + (sqrt{3}/2*(1/b) - b)² >= 0 convient :)

[jlb]

Merci pour ton message jlb !!

J'ai fait de grosses erreurs dans ma précipitation, et sans ça, je ne les aurais pas vues.

Je pense que (a + 1/(2b))² + (b + 1/(2a))² + (sqrt{3}/2*(1/a) - a)² + (sqrt{3}/2*(1/b) - b)² >= 0 convient

de rien!! désolé pour la réponse "débile" du post précédent mais tu as trouvé avant que je te réponde plus sérieusement!!!

[Sake]

de rien!! désolé pour la réponse "débile" du post précédent mais tu as trouvé avant que je te réponde plus sérieusement!!!

Oui ^^ C'est un de mes défauts : M'engager dans une voie sans vraiment réfléchir. Je manque de patience me dit-on.

Et puis mine de rien, ta réponse m'a éclairé !