Sake a écrit:Je pense que j'ai qqchose.
Par des raisons de symétrie, considère plutôt la quantité Montrons que cette quantité est plus petite que .
D'une part, et , d'où :
d'autre part :
et pareil en interchangeant a et b.
Donc on a ce qui conclue (je pense)
t.itou29 a écrit:Merci ! C'est vraiment astucieux, comment as-tu pensé à introduire le symétrique et choisir les quatres carrés ?
Sinon avec l'analyse ça aurait donné quoi ? J'avais essayé par curiosité mais je connais pas trop les dérivées d'une fonction à plusieurs variables. J'ai dérivé par rapport à b et trouver un minimum en fonction de a mais il n'était pas forcément supérieur à racine de 3. Quelle est donc la méthode pour dériver une fonction de plusieurs variables ?
fatal_error a écrit:hello,
pour la méthode analytique on peut procéder ainsi.
On considère la fonction
f(a,b)=a^2+b^2+1/a^2+b/a
on veut montrer que le couple (a0,b0) qui minimise f est tel que f(a0,b0) >= sqrt(3)
pour ca on cherche les points critiques de f en lesquels f admet un minimum ou maximum.
Il sont solutions de grad f = 0.
idem
idem
(A) 2a-2/a^3-b/a^2=0
(B) 2b+1/a = 0
(voir dérivée partielles sur wiki)
on déduit (1): b=-1/(2a)
en réinjectant dans (A): a^4-3/4=0
Ensuite, on calcule la hessienne de f (voir wiki)
le déterminant de H (la matrice hessienne) vaut :
Or au point critique donc
ca veut dire que les valeurs propres de H sont de même signe c'est rassurant! car Delta est positif
Nous on cherche un minimum, et on a un minimum lorsque H est definie positive, idem les valeurs propres positives.
Donc comme les valeurs propres sont positives, la trace de H aussi.
Donc on veut a tq
( et en remplacant l'inégalité à l'air vérifiée..)
On voit que nos deux a sont solutions, (c'est assez immédiat parce que a^2, b^2, ca fait péter le signe de a, et b/a le signe s'annule)
Bref, on prend juste un a parmi , et on sait qu'il donne minimum >global< de f.
f(a,b)=a^2+b^2+1/a^2+b/a
remplace par b=-1/(2a) (on est au point critique faudrait mettre a0,b0 mais c'est relou à écrire)
f(a,b)=a^2+1/(4a^2)+1/a^2-1/(2a^2)=a^2+3/(4a^2)
f(a,b)=sqrt(3)/2+3/(2sqrt(3))=sqrt(3)
Sake a écrit:La symétrie c'est par habitude ! Généralement un problème est facilement traitable avec plus de symétrie (les factorisations sont plus aisées et on peut y voir plus de choses) et lorsqu'il y en a pas assez on peut en rajouter car a et b sont des variables discrètes auxquelles on peut faire jouer le même rôle.
D'abord j'ai voulu faire apparaître les termes a/b et b/a ce qui m'a amené aux premiers carrés et après j'ai cherché un moyen de faire apparaître les autres termes, ce qui s'est fait naturellement.
Sake a écrit:En vrai je te remercie beaucoup car j'avais essayé de lire ce polycop d'animath il y a 4 ans et j'avais pas ta volonté et ton intelligence pour le lire en entier (j'en avais trop marre dès le réordonnement). Je vais le lire au bout cette fois-ci :ptdr:
fatal_error a écrit:seconde année, mais bon, t'as tous les outils en première année!
Sake a écrit:Oui, et pourquoi pas aussi de la géométrie type olympiades ? C'est, je pense, ce qu'il y a de plus dur dans le genre, et bien plus stimulant que la géométrie de lycée.
Je te conseille de voir des choses qui nécessitent pas mal de raisonnement (comme ça ou encore l'arithmétique) et peu d'outils. Cela te sera utile en prépa, où l'on t'apprend plutôt des méthodes qu'à réfléchir aussi profondément, parce que manque de temps.
Sake a écrit:Merci pour ton message jlb !!
J'ai fait de grosses erreurs dans ma précipitation, et sans ça, je ne les aurais pas vues.
Je pense que (a + 1/(2b))² + (b + 1/(2a))² + (sqrt{3}/2*(1/a) - a)² + (sqrt{3}/2*(1/b) - b)² >= 0 convient
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