Fonction périodique

[Anonyme]

Bonjour. Je rencontre quelques difficultés dans la résolution de cet exercice. Pouvez vous m'aider ? Voici l'énoncé: soit d un nombre irrationnel. Démontrer que la fonction f(x)=sin x + cos(dx) n'est pas périodique.*

[Ben314]

Salut,
Je sais pas quel niveau tu as, mais c'est un peu "chaud" comme question.
Je te propose deux méthodes "pas trop techiniques" :

1) Tu résoud l'équation f(x)=0 (c'est pas super dur) puis tu dit que, si f était périodique, l'ensemble des solutions devrait être périodique (ou vide) et là, tu gratte un peu de papier... et tu montre que ce n'est pas possible.

2) Avec un peu plus de connaissances, tu sait qu'une fonction continue et périodique atteint son maximum puis tu montre que la borne sup de f sur R est 2 mais qu'elle n'est jamais atteinte (ici, il faut utiliser le fait que les réels de la forme n+md avec n et m dans Z sont denses dans R)

Il y a sans doute (beaucoup) d'autres méthodes mais je pense qu'il n'y en as aucune de "trés simple" et demandant "peu de culture"...

Si ta question est tiré d'un bouquin ou d'un poly. et que tu me donne le titre du chapitre correspondant, je risque de te proposer d'autre méthodes...

[Anonyme]

Cet exercice provient d'un DS de monsieur Alarcon (Lycée Louis le Grand). Niveau seconde théoriquement, mais tout est relatif chez ce professeur !
On peut peut être partir de la définition :
f:R-->R est une fonction et T est un réel positif.
Dire qu'une fonction est T-périodique signifie que pour tout réel x, f(x+T)=f(x).

A partir de là, pourquoi pas introduire ce T et montrer que f ne vérifie pas cette jolie définition :) ?
Après, je ne sais pas trop !

[nodgim]

Comment s'interprète dx ?

[Anonyme]

C'est à dire ?

[nodgim]

la période de sinx est 2pi
La période de cosdx est 2pi/d car cos(d(x+2pi/d))=cos(dx+2pi)=cos(dx)

Pour que la somme soit périodique, il faut que x et dx reviennent à la même valeur modulo 2pi, c'est à dire quand k*2pi=k'*2pi/d. avec k et k' entiers.
Or d= k'/k après simplification.
k'/k étant rationnel, c'est contradictoire avec l'énoncé initial.

[Nightmare]

Pour que la somme soit périodique, il faut que x et dx reviennent à la même valeur modulo 2pi.

une preuve? :lol3:

[nodgim]

Il ne faut pas oublier que la question est posée à un élève de niveau seconde.
Cela dit, ta question me laisse perplexe.

[Nightmare]

Et ta preuve, bizarrement la plus intuitive est la moins possible à justifier niveau seconde :lol3:

L'étude des périodes de f+g pour f et g périodiques n'est pas triviale.

[Nightmare]

2) Avec un peu plus de connaissances, tu sait qu'une fonction continue et périodique atteint son maximum puis tu montre que la borne sup de f sur R est 2 mais qu'elle n'est jamais atteinte (ici, il faut utiliser le fait que les réels de la forme n+md avec n et m dans Z sont denses dans R)

Salut Ben, je ne crois pas qu'on ait besoin de la densité. 2 est atteint si et ssi sin(x)=cos(dx)=1 et c'est clairement impossible.

[nodgim]

La partie entière des multiples successifs de racine carrée de 2 modulo 3 est elle périodique ?
C'est ça le problème ?