[Défi] Valeurs aux entiers naturels de la fonction Zêta de R

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Zweig
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[Défi] Valeurs aux entiers naturels de la fonction Zêta de R

par Zweig » 22 Juin 2010, 20:46

Salut,

En 1644, Pierto Mengoli proposa à la sagacité des mathématiciens de l'époque le problème, connu sous le nom de problème de Mengoli ou encore problème de Bâle, du calcul de la valeur exacte de la limite suivante :

[CENTER]
[/CENTER]

Ce problème résista aux attaques virulentes des plus grands mathématiciens. Il fallut attendre 1735 pour que le mathématicien suisse Euler montre que ce problème est lié à la quadrature du cercle, c'est-à-dire que la valeur exacte dépend de . Plus précisément, il montra l'égalité suivante :



Cette solution lui apporta une notoriété immédiate à l'âge de 28 ans, malgré un manque de rigueur dans cette dernière. Il fallut attendre 1745 pour que ce détail soit corrigé. Il proposa par la suite d'autres démonstrations et va jusqu'à déterminer , avec l fonction de Riemann définie pour tout réel . Il montra la formule suivante qui porte aujourd'hui son nom, avec le -ième nombre de Bernoulli :



I - La fonction

On montre que la fonction est bien définie sur . On définit la suite la suite . On veut montrer que la suite converge pour tout :

1) Soit . En utilisante l'inégalité suivante



montrer que est majorée par

2) Montrer que est strictement croissante.

3) Conclure.

II - Démonstration

Il existe plusieurs manières de définir les nombres de Bernoulli. Nous prendrons la définition suivante :

Les nombres de Bernoulli, notés , sont les nombres, définis de manière unique, vérifiant la relation suivante : .

On définit le polynôme de la manière suivante :



On définit de plus la fonction de classe sur par :

si , sinon.

La démonstration repose sur le calcul de deux manières différentes de la limite suivante :



1) Montrer

2)

a) Montrer

b) Montrer

3) Soit . Montrer



4)

a) Montrer :

b) Montrer

5) Conclure.



benekire2
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par benekire2 » 22 Juin 2010, 20:53

Il y a de quoi travailler je te remercie !

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 22 Juin 2010, 22:06

Salut !
Je te remercie également :++:

manon_n
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par manon_n » 23 Juin 2010, 11:03

Bonjour, ce problème m'a l'air très intéressant, cependant en voulant faire la première question, j'ai bloqué , alors comment peut-on faire pour la première ? Je vous remercie à l'avance.

Zweig
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par Zweig » 23 Juin 2010, 11:04

Salut,

Pour la première question, intègre l'inégalité entre et suivant puis fait apparaître

manon_n
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par manon_n » 23 Juin 2010, 11:13

bah sachant qu'il n'y a pas de t dans l'inégalité, si je l'intègre selon t ça me donne ça me sert a rien en fait ?

Zweig
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par Zweig » 23 Juin 2010, 11:14

Mea culpa ! Suivant x !

Zweig
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par Zweig » 23 Juin 2010, 11:20

Avant d'intégrer, élève à la puissance t.

manon_n
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par manon_n » 23 Juin 2010, 11:20

du coup j'ai : mais ça m'avance pas plus en fait ...

Zweig
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par Zweig » 23 Juin 2010, 11:33

Vois mon message juste au-dessus.

manon_n
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par manon_n » 23 Juin 2010, 11:36

Bon alors du coup, élever à la puisance t et intégrer puis réduit j'obtient


Après sommation de 1 à n-1 j'obtiens :



Et je vois pas pourquoi à droite ça fait 1 ?

Zweig
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par Zweig » 23 Juin 2010, 11:41

Parceque tu commences à k = 1, donc (k+1)^t = 2^t, or S_n commence à 1^t, donc il faut retrancher 1 dans le membre d egauche, et ça fait donc + 1 quand tu le passes dans le membre de droite.

manon_n
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par manon_n » 23 Juin 2010, 11:47

ok merci j'ai pu finir !! Je te dirais quand je bloquerais a nouveau !

manon_n
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par manon_n » 23 Juin 2010, 21:13

Bonsoir, je cherche a faire la question 1 de la partie II , comment m'y prendre ?

Merci à vous !

benekire2
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par benekire2 » 23 Juin 2010, 21:43

salut manon,

Il faut très certainement intégrer par parties et majorer correctement. Il commence à être tard, je t'aiderais demain ( je l'ai pas faite mais je pense que "ça passe")

Personnellement, j'ai un peu regardé ( il me reste encore les appli des cyclotomiques + les polynômes symétriques) et je pense que je vais "bloquer" sur les question 3 et 4, même si je pense qu'il va falloir intégrer pas mal de fois par parties sur la 3 et que j'ai trouvé le début de la 4b. Je tiens au courant demain matin.

benekire2
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par benekire2 » 24 Juin 2010, 12:50

Salut !

Je note

Bon on montre que f est de classe C1 et ensuite on peut intégrer par parties :



Ainsi si on s'intéresse au crochet, on l'écrit après développement :
donc ...

D'un autre côté l'intégrale qui reste peut se majorer facilement grâce au fait que pour tout x réel donc ...

benekire2
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par benekire2 » 24 Juin 2010, 12:54

Re-bonjour,

En ce qui me concerne, j'ai pu finir le problème hier soir (tard ... ) et je pense que c'est tout bon. Si quelqu'un a besoin d'aide qu'il demande. :we:

windows7
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par windows7 » 24 Juin 2010, 13:38

salut

>benekire2 : si t'as un peu de temps regarde du coté des series de fourrier, qui te fourniront plein de belles formules et de facon quasi immediate

benekire2
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par benekire2 » 24 Juin 2010, 14:18

Salut Windows7 ! J'essayerais de regarder à l'occasion , merci du tuyau :++:

Zweig
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par Zweig » 24 Juin 2010, 14:21

Sauf que bon, les séries de Fourrier c'est niveau Math Spé ...

 

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